勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

勃罗卡点的一个计算公式

如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,如果∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点。由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,P     

双圆四边形勃罗卡点的一个性质

文[1]指出:若△ABC的面积为△,勃罗卡角为α,则以勃罗卡点在三边的射影为顶点的三角形的面积为△sin2α.     

关于勃罗卡点的两个命题

关于勃罗卡点的两个命题苗大文（安徽省定远中学２３３２００）文［１］、［２］、［３］都讨论了勃罗卡的有关问题，读来很受启发．笔者也得到了两个命题供参考．图１命题１设Ｐ为△ＡＢＣ的勃罗卡点（如图１），记△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢ，△ＡＢＣ的外接圆半径分...     

一个有趣的整除问题

本刊1983年第四期的问题征解上有这样一题求证(1+2+3+…+1983)|(1~5+2~5+3~5+…+1683~5)。在解此题时,我们从1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2)n+1)~2=〔(1/2)n(n+1)〕~2=(1+2+3+…+n)~2,发现(1+2+3…+n)|(1~3++2~3+3~3+…+n~3)对任意自然数n皆成立。我们试问是否也有(1十2+3+…+n)|(1~5+2~5+3~5+…+n~5)对任意的自然数n皆成立呢!回答是肯定的。不难证明1~5+2~5+3~5+…+n~5=(?)(n+1)~2(2n~2+2n-1),因此,(1+2+3     

一个有趣的整除问题

请问:23~(43)+43~(23)是否能被66所整除? 为回答这一问题,先来看一个较简单的问题:“3~5+5~3是否能被8所整除”,如果这一问题能有个一般方法获得解决,我们的问题也就可以相应得到解决了。首先因为3~5+5~3=243+125=368=46×8,所以8|(3~5+5~3)[注:记号“8|(3~5+5~3)”表示8能整除3~5+5~3,或3~5+5~3能被8所整除]这个方法很简单,但由于这个数中的底数和指数都比较小,乘方后所得之和也不很     

关于双曲线的一个有趣结论

笔者研读文[1]后深受启发，对双曲线的性质也进行了研究，发现了一个有趣的结论，同时也得到了离心率为2的双曲线的一条独特性质，现将结果共享如下．     

关于《一个有趣的整除问题》的探讨

本刊在83年第4期中刊登边先同志提出的《一个有趣的整除问题》,本人看后略有启发。这一问题可以转化成P~(p+k)+(p+k)~p能否被p+(p+k)=2p+k整除的问题,这里p,k均为正整数,且p为奇素数,k为偶数,p+k为奇素数。根据《一个有趣的整除问题》     

一个有趣的最值问题

今有一题:已知x,,丸,x3,…,x。均为正锐角,且xl+x2十x3十…十xn二二,试求:inxl+sin丸+sin匀+…+sinx。的最值. 有人是这样解的,因为x1,x2,x3,…,xn均为正锐角,则sinx:,sin勺,sin勺,…,sinxn均大于零,由n个正数的算术平均值不小于其几何平均值,得: sinxl+sin魂+sin匀+…+sinxn )了sinx一sinxz·sinx3··…sinx, 一。肴+xj__s,I,x‘丫”,,,xj一“5,,〕~玄七obx,一与一2·in平‘因为一二丘S一厄 2=l)当二,半二,时.有。<。os~共王二<1, 乙所以,·i一,+51·。一251·平·。。S三l产<2·i·令式中等号当且仅当sin丸二sin众二sinx,时成立,所以当…     

关于海伦三角形的一个有趣定理

文中杨之用拟合的方法给出了诺尔曼——埃尔德什定理（即：平面上存在不共线的n个点，其中任两个点间的距离都是整数）的一个初等证明．但证明复杂，且其中有n-1个点都在一条直线上．本文将用构造性方法证明更有趣的结论。     

关于Brewer和的一个有趣恒等式

主要目的是利用初等方法研究Brewer和的性质,并给出一个有趣的恒等式.     

一个有趣的概率问题——三门问题

<正>三门问题亦称为蒙提·霍尔问题,大致出自美国的一档电视游戏节目,问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall).问题的内容大致是这样的:在游戏节目中,主持人向大家展示了三扇门并告诉大家每扇门后各有一个奖品,其中之一是汽车,其余是羊,猜奖者任选一扇门后得到门后的奖品.现在给你一次猜奖的机会,假设你想得到的是汽车.当你选中一扇门尚未打开时,主持人故意打开了     

一个有趣的房间地面面积问题

两个房屋的平面图如图所示,图1外墙是8m×8m,图2外墙是7m×9m．如果墙厚0．25m,外门宽1m,内部房间门宽0．9 m,试问图1比图2的地面面积多1 m2吗?     

关于《一个有趣的整除问题》的又一探讨

本刊在1983年第4期中刊登边先同志提出的《一个有趣的整除问题》,又在1984年第8期中刊登了郑树民同志提出的《关于(一个有趣的整除问题)的探讨》,我读后颇受启发,连想到下     

关于幂和数列的一个有趣等式

关于幂和数列的一个有趣等式３５２２６５福建古田三中黄家湘易知方阵Ａ第ｔ列的元素之和为ｔ·ｔｍ＝ｔｍ＋１即方阵第ｔ列的元素之和恰好是数列｛ｔｍ＋１｝的第ｔ顶，显然方阵Ａ的全部元素之和为２尸十１用火表示＂Ｘｎｆｉ阵Ｂ的元素，由公式国批６阵Ｂ的第（Ｓ＋１）...     

关于角平分线的一个不等式

关于角平分线的一个不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）关于△ＡＢＣ中三条角平分线ｔａ，ｔｂ，ｔｃ与其外接圆半径Ｒ、内切圆半径ｒ，笔者已建立了如下关系［１］当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号。笔者研究过的上界．得到以下定理设△ＡＢＣ三边长...     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

有趣的角谷猜想

星期天,表姐到我家玩.她领我玩了一个有趣的数学游戏--角谷猜想.真过瘾!下面我就说来让你听听! 角谷猜想的玩法是这样的:任意给一个自然数,如果它是双数就把它除以2,如果它是单数就把它乘3再加1……"这样循环下去,经过多次运算后,你猜,结果会怎么样呢?"表姐神秘地问道.     

复数几何意义中一个有趣的问题

关于复数几何意义的有关伺题的研究,从各种书刊资料的情况综合起来看,可以说已经够全面和完善了.但有一个似乎不是问题的问题却至今未引起注意:一个复数或复数式到底有几种几何意义?这个问题的提出好象有点扯谈,因为教材已明确指出:很明显,向量OZ是由点Z唯一确定;反过来,点Z也可由向量OZ唯一确定的”(见高中《代数;甲种本》第二册 P.197)。据此,便断言复数或复数式的几何意义应该是唯一的.如果我们仔细研究一下教材中的这段阐述,不难发现,这里要求的向量是以点O为起点。有时我们又可视其为自由向量,则这时对同一个复数,就可作出几种不同的几何解释。如复数z_1+z_2,它就可解释为由z_1、z_2和x_1+z_2所对应的向量构成的     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+