再探非连通图C4m-1∪C12m-8∪G的优美标号

讨论了非连通图C4m-1∪C12m-8∪G的优美性,证明了当m为任意正整数,G是特征为k且缺标号值k+6m-4的交错图(6m-4≤k+6m-4≤|E(G)|)时,非连通图C4m-1∪C12m-8∪G存在缺标号值k+16m-9的优美标号,其中,Cm是具有m个顶点的圈.     

图C4k∪Pn的优美性

研究了圈与路不交并图C4k∪Pn,n≥k+2的优美性.首先利用弱优美性的定义,给出了与所研究问题等价的两个命题,把C4k∪Pn,n≥k+2优美性的证明转化为若干路弱优美性的证明,使问题简单化.接着用这种方法证明了k=2,3,4,5,6,7时C4k∪Pn,n≥k+2的优美性.     

图2C4k∪Pn优美性的一些结果

对两个圈与路的不交并图2C4k∪Pn的优美性进行研究，构造性地给出了n=2k 2,4k,4k 2,4k 4时2C4k∪Pn的优美标号，证明了它们的优美性。     

关于圈并的优美性

研究了圈并的优美性,并给出了圈并优美的一个结果：设C4k^(1),C4k^(2),…,C4k^(j)是j个圈,k是不小于1的整数,按顺序一个接一个的一点粘合这些圈,使其当j≥3时,前一个粘合点到后一个粘合点的距离均为2,这样得到的图为优美图。     

关于圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美性

给出了圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的定义,讨论了圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美性,用构造性的方法给出了一些特殊的圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美标号.     

非连通图C4m-1∪C12m-8∪G的优美标号

讨论了非连通图C4m-1∪C12m-8 ∪G的优美性,证明了当m为任意正整数,G是特征为k且缺k＋6m-3标号值的交错图（6m-3≤k＋6m-3≤｜ E（G）｜）时,非连通图C4m-1∪ C12m-8∪G存在缺标号值k＋1的优美标号,其中,G是具有m个顶点的圈.     

由圈得到的一类优美图

刘瑞元在〔1〕中证明一个 n(n≥6)个顶点的圈增加两条弦所得图优美,本文证明圈增加若干弦所得图优美.定理具有4k+r 个顶点的圈 C(r=0,1,2,3),可增加 t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.定理的证明分4种情况:r=0,l,2,3.引理1 具有4k 个顶点的圈 C,可加上t(0≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美。引理2 具有4k+1个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.引理3 具有4k+2个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.引理4 具有4k+3个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k+1)条弦,使所得图 C′优美.     

非连通图C4m∪G 的优美标号

讨论了非连通图C4 m∪G的优美性,给出了非连通图C4 m∪G是优美图的4个充分条件:当图G是缺标号值k+3 m且特征为k的交错图时,非连通图C4 m∪G存在着缺标号值k+1的优美标号;当图G是缺标号值k+m+1且特征为k的交错图时,非连通图C4 m∪G存在特征为2 m+k+1缺标号值k+1的交错标号;当图G是缺标号值k+2 m且特征为k的交错图时,非连通图C4 m∪G存在缺标号值k+3 m的优美标号;当图G是缺标号值k+2 m+1且特征为k的交错图时,非连通图C4 m∪G存在缺标号值k+m的优美标号。     

关于圈C_3的(1,2a,2a+1)-冠的优美性研究

给出了圈Cn的(r1,r2,…,rn)-冠的定义,讨论了圈C3的(1,2a,2a+1)-冠的优美性,用构造性方法给出了圈C3的(1,2a,2a+1)-冠的优美标号.     

图Cm-1 ∪ Cm的优美性

证明了C4k+1∪ C4k+2的优美性,得到了Cm-1 ∪ Cm为优美图的充要条件.     

图中具有指定性质的独立4-圈

主要给出了图G恰好含有s个K3和k-s个K4的最小度条件即:设G是一个简单图,s,k是两个正整数且s k,其中G的顶点个数n≥3s+4(k-s)+3,如果G中任意两个不相邻顶点的最小度之和σ2(G)≥4n-3s-8/|2|或者最小度δ(G)≥3n+2k-s-2/4,则G包含k个顶点不相交的圈C1,C2…Ck,并且Ci=K3其中1≤i≤s,Cj=K4其中sj≤k.     

图Pm×P3(n=11+8k)的点可区别全染色与算法

集合{1,2,…,n}中取4个数字的所有组合,经三角排序后任意相邻2个组合都有3个相同数字.利用此结果和组合性质(n+8k3)-(n3)≡0 (mod 4)构造算法,并证明当n=11+8k(k =0,1,…)和(n-14)/2+2＜m≤(n4)/2+2时积图Pm×P3的点可区别全色数为n.     

非连通图Wmk∪G的优美性

文章证明了对任意自然数n≥1,p≥1,k≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1∪Kn,p为优美图,其中Wm1(k)为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图Wm1(k)∪St(n)为优美图;对任意自然数p≥1,图W2p+2+i(k)∪Gip为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图Wm1(k)∪(C3∨■)为优美图。     

轮对完全图的拉姆齐数

记tm={C3,C4,…,Cm）．对于充分大的n,证明了r（Kt＋t2m＋1,Kn）≤（1＋o（1））c（logn）^k＋1/n^k＋1＋1/m,这里c=c（m）是一个常数.     

非连通图C_(16)(r_1,0,r_2,0,…,r_8,0)∪F_(k,4)的优美标号

讨论了非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4的优美性,证明了a,k,ri(i=1,2,…,8)为任意自然数,且当r6=r7=r8=0,k=4;r7+r8=2,k=5;r8=a,r7≥4-a,k=6;r8≥6,k=7时,非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4是交错图。     

关于图C_m∪P_(n-1)~+的优美性

图Ｃｍ ∪Ｐ＋ｎ－ １ 是圈Ｃｍ 与Ｐ＋ｎ－ １ 的不交并。本文证明了当①ｍ ＝ ４ｋ,ｎ ≥ｋ ＋ ２;②ｍ ＝ ４ｋ ＋ １,４ｋ － １ ≤ｎ ≤１０ｋ－ ７;③ｍ ＝ ４ｋ＋ ２,ｎ ≥４ｋ ＋ １;④ｍ ＝ ４ｋ ＋ ３,４ｋ＋ ２≤ｎ ≤１０ｋ－ ２ 时,图Ｃｍ ∪Ｐ＋ｎ－ １ 是优美的。     

几类C_m∪P_n图的优美性

图Ｃｍ∪Ｐｎ是圈Ｃｍ与路Ｐｎ的不交并。给出了当（ｍ,ｎ）分别等于（４ｋ,２ｋ＋５）,（４ｋ,３ｋ＋３）,（４ｋ＋１,６ｋ－３）,（４ｋ＋２,５ｋ－２）,（４ｋ＋２,４ｋ－１）,（４ｋ＋３,６ｋ）时,Ｃｍ∪Ｐｎ是优美的。     

B.D.Acharya和S.M.Hegde关于算术图一个猜想的证明

B．D．Acharya和S．M．Hcgdc猜想[1]：(1)、如果圈C4t 1是(k,d)的算术图，那么必有k=2td 2r，其中r是某个非负整数；(2)如果圈C4t 3是(k，d)算术图，则k=(2t 1)d 2r，其中r是某个非负整数。本文对以上猜想给出了肯定性证明。     

非连通图3C8m∪C8m-1∪G的优美标号

研究非连通图3C8m∪C8m-1∪G的优美性.证明如下结论：对任意正整数m,若图G是特征为k且缺标号值k＋24m-2的交错图,则非连通图3C8m∪C8m-1∪G存在缺标号值k＋1的优美标号.