看似平常却奇崛 一题可破万题山--一道课本习题的导学设计

习题(仅就人教版初中几何第三册第117页B组第2题) 已知如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.求证:RP=RQ.     

一道与中考有缘的课本题目

课本上有这样一题：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA上OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交0A的延长线于R．求证RP=RQ．     

一道中考几何题的多方位探索

题目　如图 1,CB与⊙O相切于点B ,半径OA⊥OC ,AB、OC相交于点D .求证 :( 1)CD =CB ;( 2 )AD·DB =2CD·DO .( 2 0 0 1,江苏省连云港市中考题 )1　试题探源该题源于人民教育出版社 ( 1994年版 )《几何》(第三册 )第 117页B组第 2题 :图 2如图 2 ,OA和OB是⊙O的半径 ,并且OA⊥OB ,P是OA上任一点 ,BP的延长线交⊙O于Q ,过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R .求证 :RP =RQ .2　试题的证法探索对于题目 ( 1)欲证CD =CB ,可根据已知条件和圆的有关性质 ,通过作辅助线 ,有很多不同的证法 ,其中以连结OB或过点A作⊙O的切线证明…     

例谈中考中课本习题的演化方式

翻开近几年各省、市中考题,不难发现有不少考题源于课本,但又异于课本,其演变方式也日趋成熟.下面我就课本习题列举几种常见演变方式.原题:如图:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于Q,过Q的⊙O的切线交OA延长线于R,     

问题探究 激发创新思维

数学教学课主要是运用问题的解决来培养和优化学生的思维品质,教师的任务是通过问题的设计为学生提供自由广阔的天地,引导学生发现问题、探究问题、解决问题,培养学生的问题意识,这有利于改变学生学习数学的方式,从而提高教学质量.一、指导变式训练,培养思维的灵活性在问题探究式教学中,教师不能就题论题,而是要引导学生深入探究,不但要研究一题多解,而且要根据问题的特点去思考它的变式.例1:(如图1)已知,OA、OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R,求证:RP=RQ.教学中,可…     

巧添切线辅助线

1遇有半径作切线,与半径垂直于外端 当题中的图形内有半径(或直径)时,可过半径(或直径)的外端作圆的切线,则这条切线垂直于经过切点的半径。这对证明题会增加新的条件。例1 已知:如图1,在⊙O中,OA⊥OB,在OB上任取一点E,AE交⊙O于点D,过D作切线DC交OB的延长线于点C,求证CD=CE. 略证过点A作⊙O的切线AF,那么AF⊥OA,又因为OA⊥OB,于是得到AF∥OB,∠CED=∠FAD,又由CD于⊙O相切于点D,得到∠CDE=∠FAD,故可得出结论。     

挖掘习题潜能 培养思维能力

在历年的中考试题中,许多题目都来源于课本,对课本习题挖掘延伸与拓展,从多角度、多侧面、多方向进行探索,对强化双基、开发智力,培养思维能力、创新能力具有积极的作用。下面以《几何》第三册P102页一道习题为例说明。 题目 已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点O,过O点的⊙O切线交OA的延长线于点R,求     

题在课外,根在课内

每年中考都会出现许多好题,其中有些题是“源于教材,高于教材”令人称道.也告诉同学们一个道理,有一些新题“根在课堂上.”平时要打好基础,掌握题目的一些变化方法,就能举一反三.下面从一道试题入手,看其变化出的新题.供读者参考.原题已知:A是⊙O直径上一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一切线和OA的延长线相交于点D.求证:DA=DC.简证:此题证法较多,连结OC.因为DC为⊙O的切线,C为切点,所以∠1+∠2=90°.因为OB⊥OA,所以∠3+∠B=90°.而∠B=∠1,∠3=∠4,所以∠2=∠4,故DA=DC.演变一如图2,平移MN,因为直径是弦的特例…     

一道IMO预选题的探索

第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

用向量法解高考解析几何题

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD;(2)OI=1/2AE.     

一道赛题的分析与演变

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD ;(2)OI=1/2AE.     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

对一道中考试题解法的探究

试题:(2011年武汉市初中毕业升学考试第22题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;     

“一题一课”在数学教学中的应用

<正>本文从"一题一课"的几种主要教学方式谈起,介绍"一题一课"教学模式在数学教学中的实施策略.一、一题多解,多解归一一题多解,可以开阔思路,发散思维,使学生学会多角度分析问题和解决问题.例1 (2011年武汉中考题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.     

一期一题

1995年第5期《一期一题》解答连OF.∵OB为⊙O_2的直径,∴OF⊥BC.在⊙O中,由垂径定理知F为BC的中点。∵⊙O和⊙O_2内切于C。     

读者与编者

一道训练题的解答一些读者来信希望提供如下一题的题解(题见本刊编辑部组织编写的《中学数学方法与单元、综合测试训练》第36页),现证明于下: 题:若0<θ<1/2π,证明 2θ相似文献   

一道竞赛题的证法探究

2014年全国高中数学联赛陕西预赛第三题： 如图1,⊙O。与⊙O2相交于P、Q两点,且⊙O2经过圆心O1,A是⊙O1。的优弧PQ上任一点,AP、AQ的延长线与⊙O2分别交于点B、C。求证：O1为△ABC的垂心。     

一类相交圆问题的变形与思考

近年来,中考命题的热点之一,就是改编课本例题或习题。改编课本例题或习题,必须使改编后的题目不怪不偏,切中教材的重点、难点,使基础知识和基本技能在变式练习中不断以正用、逆用、连用、巧用等形式出现,以便引导学生扎扎实实地掌握和运用课本知识。下面以初中《几何》第三册第130页练习第2题的改编为例,加以说明. 题目:已知如图1,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M,交AB的延长线于N.求证:     

一题多证学方法

本文试图从一个题目的多种证法,归纳证两个角相等的几种常见思考方法. 题目已知B是⊙O半径OA延长线上一点,BC切⊙O于C,过C点作CD⊥OA,垂足为D.求证:CA平分∠DCB.