点到空间直线距离的一个公式

利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0距离的一个公式d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1|/|n1×n2|,其中ni={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。     

利用启发式培养学生发散思维能力的一道好题

在数学教学中,充分利用教材中已编的题目,挖掘出它们的知识和方法内涵,对于减轻学生学业负担、提高教学质量是很有必要的.笔者曾对《平面解析几何》原教材第126面复习题第24题采用启发思维教学法,从5种不同思维角度引导学生进行分析、观察、思维、联想及解答,体会到这道题是培养学生发散思维能力的一道好题,现将教学中启发思维过程展现出来,仅供参考.题目　过圆外一点P(a,b),引圆x2+y2=R2的两条切线,求经过两个切点的直线方程.图1启发思路1目的:首先引导学生用自然思维程序——即用两点式求直线方程进行翻译、推理、思考.　　T:求解该问题的自然思维是什么?S:求过A、B两点的直线方程.T:大家想一想困难是什么?S:A、B两点的坐标没有给出.T:那么能不能把切点A、B的坐标求出来呢?[提问学生甲]:设切点坐标为A(x0,y0),则由OA⊥AP得　y0-bx0-a.y0x0=-1,即　　　ax0+by0=R2.(1)又　点A适合方程,∴　　　x20+y20=R2.(2)由(1)、(2)消去y0有(a2+b2)x20-2aR2x0+R4-b2R2=0.(3)(教师此时有意停顿片刻,装出惊讶表情,学生窃窃私语——出现了一元二...     

两条直线关系的点拨（高二、高三）

一、运用向量求直线方程新课本特点之一是引入向量 ,这里提供一个运用向量巧妙求直线方程的例子 .例 1　过点P(3 ,0 )作一条直线 ,使它夹在两直线 2x- y - 2 =0和x +y +3 =0之间的线段AB恰被P点平分 ,求此直线方程 .解 :设OA =(x1 ,2x1 - 2 ) ,OB =(x2 ,-x2 -3) ,而OP =(3,0 ) .则PA =(x1 - 3,2x1 - 2 ) ,PB =(x2 - 3 ,-x2 - 3) .∵PA +PB =O .∴ (x1 +x2 - 6,2x1 -x2 - 5) =(0 ,0 ) .　即x1 +x2 - 6=02x1 -x2 - 5 =0 ,　解得x1 =1 13x2 =73 .∴A 1 13 ,1 63 .所以 ,直线方程为 8x -y- 2 4 =0 .二、运用两条直线重合的条件新课本对…     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

解析几何中的四类对称变换

[复习说明 ]由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形 ,于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现 ,它是高考复习的一个热点专题 .本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题 ;难点是两曲 (直 )线关于直线成轴对称问题 .[内容提要 ]1 .点 P(x,y)关于点 M(a,b)成中心对称的点是 P′(2 a - x,2 b - y) .2 .两点 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )关于直线 Ax+By +C=0 (AB≠ 0 )成轴对称的充要条件是　 A .x1+x22 +B .y1+y22 +C =0 ,且 (- AB) .y1- y2x1- x2=- 1 .特例　点 P(x,y)依次关于直线 x =a,y =b,y =x,y =- x…     

空间几何体求解平面投影的分类与总结

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题 ,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类 ,给出了总结。( a)空间曲线在平面上投影的求法通常先将空间曲面方程联立 ,消去 x,y,z中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式 ,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为 F( x,y,z) =0和G( x,y,z) =0 ,设 FG( x,y)是两个方程联立消去 z后的解析式 ,则该空间曲线在 xoy平面上的投影就为 FG( x,y) =0z =0 。这类问题的解法较为…     

点关于圆的极线的三种情形

人教版高中《平面解析几何》必修本P62 例 3描述了这样一个命题 :若点P(a ,b)在圆x2 +y2=r2 (r>0 )上 ,则直线ax +by=r2 (把圆方程中x2 ,y2 各拿一个字母分别换成a ,b)表示过点P的圆的一条切线 .这是情形①在一些教辅资料中 ,则介绍了情形② :若点P(a ,b)在圆x2 +y2 =r2 (r>0 )外 ,过点P作圆的两条切线 ,切点分别为A ,B ,则直线ax +by=r2 表示过点A ,B的直线 (该直线方程俗称为切点弦方程 )略证　设A ,B的坐标分别为 (xA,yA) ,(xB,yB) ,由情形①得 :lAP:xAx+yAy=r2lBP:xBx+yBy=r2因点P既在lAP 上 ,又在lBP上 ,则 xAa+yAb=r2xBa…     

不易发现的错解

现行高中《平面解析几何》课本中有这样一个命题[1]:“点M与点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程,”对基础较好的学生来说会联想到用抛物线的定义去解非常简单,它等价于命题“点M与点F(4,0)的距离等于它列直线x=-4的距离,求点M的轨迹方程。”很明显答案为y~2=16x,解法很巧妙!     

建立空间曲线的参数方程的方法及应用

将空间曲线的一般式方程 F1(x,y,z) =0F2 (x,y,z) =0 化为参数方程x =x(t)y =y(t)z =z(t)是个难点 .而在计算两类曲线积分时 ,由于公式中曲线方程是由参数形式给出的 ,因此会遇到这个问题 .本文采用把曲线投影到坐标面上的方法 ,通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的 .最后给出此问题的讨论在计算两类曲线积分时应用的例 .例 1　将曲线 L 的一般式方程x2 y2 z2 -x 3 y -z -4 =02 x -2 y -z 1 =0化为参数方程 .解　在方程中消去 z,得曲线 L 在 xoy平面上的投影曲线为L′:5 x2 -8xy 5 y2 …     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

2006年高考数学广东卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.函数f(x)=3x21-x+lg(3x+1)的定义域是A.-31,+∞B.-13,1C.-13,31D.-∞,-312.若复数z满足方程z2+2=0,则z3=A.±22B.-22C.-22iD.±22i3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y=-x3,x∈RB.y=sinx,x∈RC.y=x,x∈RD.y=21x,(x∈R)4.如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD=A.-BC+21BAB.-BC-21BZC.BC-21BAD.BC+21BA5.给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直…     

直线方程(选择题五道)

1.已知三点A(3,0)、B(12.-3),C(6,y)的坐标都适合方程x+By+C=0(B,C为常数),则y的值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 2.和直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x-4y=5=0 (B)3x-4y+5=0 (C)3x+4y-5=0 (D)4x+3y+5=0     

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…