翻析与旋转问题的解题技巧

20 0 4年中招试题中 ,部分省市考查了几何图形的“翻折”与“旋转” ,试题十分有趣 ,下面以中考题为例 ,探究这类问题的解题技巧 .一、图形的“翻折”例 1　如图 ,等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC ,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD ,使点B重合于点D ,折痕分别交AB、BC于点E、F ,若AD =2 ,BC =8.求 (1 )BE的长 ,(2 )∠CDE的正切值 (2 0 0 4年上海市中考题 )分析 :设BD与EF交于G ,EF是折痕 ,那么EF是△BFE、△DFE的对称轴∴BD被EF垂直平分 .∴BE =DE ,而∠1 =∠DBC =45°∴∠BED =1 80°-∠DBC -∠ 1 =90°在Rt△BDE中BE =BC -…     

数学问题解答

2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对…     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

2006中国数学奥林匹克(第2天)

1在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=PD.证设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.因为∠ACP ∠PCB=90°=∠PBC ∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.图1题1图延长AD至Q,使得∠AQC=∠A     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

解析法:命制几何试题的一种有效方法——以2014年北京市一道中考试题为例

一、试题及解答 试题 (2014年北京市)如图1,在(□)ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF相交于点P,连接EF、PD.     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.     

解一道竞赛题的意外收获

正题目:在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连AN、CM交于P点.试求∠APM的度数,并写出你的推理证明的过程.(1993年北京     

构造直角三角形解题

用直角三角形的性质解题是中数常见的方法,特别是在平几中运用更为广泛,对于有些较难的习题,若能巧妙构造出直角三角形,定会“柳暗花明”,获得新的解题路径。一、利用已知的直角构造直角三角形例1 已知如图1,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD的长。分析因∠B=∠D=90°,于是设想构造出直角三角形。虽然连AC后会出现直角三角形。但AC将∠A分成的两个角不特殊,不便利用已知条件,我们延长BC与AD,延长线交于E,则得到Rt△ABE和     

数学问题解答

1706在△ABC中，AB—AC，∠ABC的平分线交AC于D，且BC=AD-BD，求∠A． （沈阳市于洪区黑山路10—19甲222号孙哲110034） 解 在AD上取一点E，使AE=BD，由BC=AD-BD． 得ED=BC 作EF//BC，连DF，作∠GBC=∠A，则BG=BC     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

利用中位线解题

精选妙题如图1所示,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC,M为BC的中点。求证:AB=2DM。常规策略我们可以AD所在直线为对称轴把△ADC沿AD翻折,利用全等三角形和等腰三角形的性质去解决问题。     

一道竞赛题的另解

试题在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,求证:BC=AC+AD.该试题是2012年四川初二数学竞赛(初赛)试题,所给参考答案如下:图2如图2,将A沿CD反射到BC上得A′,则∠CA′D=∠A=2∠B=∠B+∠A′DB,故∠B=∠A′DB,AD=A′D=A′B,故BC=A′C+A′B=AC+AD.在老师的指导下,我得到了该试题的另外2种漂亮解答,如下:另解1如图3,延长BA至E使AE=AC,连结,因为     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三边上 ,那么这个三角形是三角形 .2 .到线段两端点的距离相等的点在 .3 .等边三角形ABC中 ,∠B ,∠C的平分线交于O ,O到点B ,C的距离为 2 3 cm ,则△ABC的周边长为cm ,面积为cm2 .4.如图 1 .∠B =∠C =60°,∠B ,∠C的平分线交于O ,过O点作MN∥BC .若BC =6cm ,则MN= .5 .等腰直角三角形的面积为2cm2 ,则斜边上的高为cm .6.边长为a的等边三角形的面积等于 .7.以 1 0cm为底的等腰三角形 ,腰长x的取值范围是 .8.如图 2 .已知AD∥BC ,则∠ 1 …     

另解一赛题

贵刊2014年8月下刊登北京市中学生数学竞赛初二年级试题填充(3)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12,AD=10,∠A=∠B=60°,则AB=.解延长AD、BC相交于P点,易知△ABP是正三角形.过C点作CM∥AB,交AD于M点,则△PCM也是正三角形.     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,     

探究试题本源 寻找最优解法

一、试题呈现 在△ABC中,∠A =90°,点D在线段BC上,∠EDB=1/2∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F. (1)当AB=AC时, ①∠EBF=____; ②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明. (2)当AB=kAC时,求BE/FD的值(用含k的式子表示).