两道代数名题的新证与推广

引理　数列 { Tn}若有初始条件T1 =m1 ,T2 =m2 ,且有递推式　 Tn =(x y) Tn-1 - xy Tn-2(x、y、m1 、m2 是常数 ,且 x≠ y) ,则其通项公式为　　 Tn=(m2 - m1 y) xn-1x - y -(m2 - m1 x) yn-1x - y . (* )证明　由 Tn=(x y) Tn-1 - xy Tn-2 得　　 Tn - x Tn-1 =y(Tn-1 - x     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

BMO ESTIMATES FOR MULTILINEAR FRACTIONAL INTEGRALS

In this paper,the authors prove that the multilinear fractional integral operator T A 1,A 2 ,α and the relevant maximal operator M A 1,A 2 ,α with rough kernel are both bounded from L p (1 p ∞) to L q and from L p to L n/(n α),∞ with power weight,respectively,where T A 1,A 2 ,α (f)(x)=R n R m 1 (A 1 ;x,y)R m 2 (A 2 ;x,y) | x y | n α +m 1 +m 2 2 (x y) f (y)dy and M A 1,A 2 ,α (f)(x)=sup r0 1 r n α +m 1 +m 2 2 | x y | r 2 ∏ i=1 R m i (A i ;x,y)(x y) f (y) | dy,and 0 α n, ∈ L s (S n 1) (s ≥ 1) is a homogeneous function of degree zero in R n,A i is a function defined on R n and R m i (A i ;x,y) denotes the m i t h remainder of Taylor series of A i at x about y.More precisely,R m i (A i ;x,y)=A i (x) ∑ | γ | m i 1 γ ! D γ A i (y)(x y) r,where D γ (A i) ∈ BMO(R n) for | γ |=m i 1(m i 1),i=1,2.     

对一变式推广简证的纠正

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m）,且满足。     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd．本文给出了f(x,y)=x2x y2x(x＞y≥1,(x,y)=1)不与任何正整数构成亲和数对的结论,这里x,y具有不同的奇偶性,即,关于z的方程σ(f,(x,y))=σ(z)=f(x,y) z不存在正整数解．     

最值原理及其应用

最值原理:设m是常数. (1)若变量y≥m恒成立,且其等号会成立,则y的最小值是m; (2)若变量y≤m恒成立,且其等号会成立,则y的最大值是m. 灵活运用最值原理给解题带来简便,由于课本没有明确描述此原理,因此许多人对它的认识很模糊,以至不能很好地运用它,因此最     

关于椭圆的弦被定点所分之比的范围

文 [1 ]探讨了椭圆的弦被定点所分之比的范围问题 ,本文给出此问题的明确结论 .定理　设点 P(x0 ,y0 )不在椭圆 x2a2 y2b2= 1上 ,即 m =x20a2 y20b2 ≠ 1 ,过 P引直线与椭圆相交于 A、B两点 ,则λ=APPB的取值范围是X ={ 1 }　　　　　　　　 m =0 ;[1 - m1 m,1 m1 - m],　 0 1 .证明　设 A(acosθ,bsinθ)为椭圆上任一点 (0≤θ <2π) ,直线 AP与椭圆的另一交点为 B(x′,y′) (仅当 AP与椭圆相切时 B与 A重合 ) ,则λ =APPB=x0 - acosθx′- x0=y0 - bsinθy′- y0(1 )显然λ≠…     

不等式问题错解八例

本文列出八道不等式问题的错误解答 ,他们集中反映了中学生学习不等式时常犯的错误 ,你能知道错在哪里吗 ?正确解法又是什么 ?今后如何避免类似错误的发生 ?请先独立思考 ,然后再看错解分析与正确解答 .1)已知x ,y∈R+ ,且x +y =9,求 1x+9y的最小值 .错解 :∵ 1x +9y ≥ 2 1x·9y =6xy≥6x +y2=12x +y=129=43 ,∴ 1x+9y min=43 .2 )已知 0 0 ,∴m +8mx -x2 =m -x +x +8x(m -x) ≥ 33 (m -x)·x· 8x(m -x) =6,∴ m +8mx -x2 min=6.3 )不等式 (a2 -9)x2 +2 (a -3 )x -2 …     

WEIGHTED Lp BOUNDEDNESS FOR MULTILINEAR FRACTIONAL INTEGRAL ON PRODUCT SPACES

For 0 < α < mn and nonnegativeintegers n ≥ 2,m ≥ 1, the multilinear fractional integral is defined by Iα(m )(→f )(x) = ∫(Rn)m 1/ ︱→y |mn-α m ∏ i=1 fi(x-yi)d→y , where →y = (y1,y2,··· ,ym) and →f denotes the m-tuple (f1, f2,··· , fm). In this note, the one-weighted and two-weighted boundednesson Lp(Rn) space for multilinear fractional integral operator Iα(m )and the fractional multi-sublinear maximal operator Mα(m )are established re-spectively. The authors also obtain two-weighted weak type estimate for the...     

待定系数法解一类条件最值题

问题 设x,y是实数,且a1x2＋b1xy＋c1y2=m（m≠0）时,求S=a2x2＋b2xy＋c2y2的取值范围．     

也谈椭圆和双曲线的姊妹圆

读本刊文 [1 ]和文 [2 ]推出了几个椭圆和双曲线的姊妹圆的文章后 ,经过进一步研究发现一个有趣的问题 .现提出笔者的一个发现 ,供大家参考 .命题　平面上到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0 ,λ≠ 1)的点的轨迹为圆 .证明　设两定点 A(m,0 ) ,B(- m,0 ) ,动点 P(x,y) .由已知得|PA||PB|=λ(λ≠ 1)或 |PB||PA|=λ(λ≠ 1) ,即　　　 (x m) 2 y2(x - m) 2 y2 =λ或　　　 (x - m) 2 y2(x m) 2 y2 =λ∴　 (λ2 - 1) x2 ± 2 m(λ2 1) x (λ2 - 1) y2 =(1-λ2 ) m2 　 (λ≠ 1) (1)∴　 (x± λ2 1λ2 - 1m) 2 y2 =4λ2 m2(λ…     

广义超立方体网络中一类容错路由选择

证明了n-维广义超立方体网络Q(m1,m2,…,mn)中,任意两个节点x和y之间存在长度均不超过H(x,y)+2的m1+m2+…+mn-n条内点不交的路由,其中有H(x,y)条长度不超过H(x,y),此处H(x,y)表示x到y的汉明距离.并在此基础上讨论了广义超立方体网络的容错路由问题.证明了即使无效点很多,但只要存在某个(n-1)-维广义超子立方体中无效节点较少,则该n-维广义超立方体中的任意两个有效节点之间可以找到最优路由或接近最优路由的有效路由.     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉·命题1设点M(m,0)(m>0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过点M的直线与抛物线相交于A、B点·点N是直线x=-m上任意一点,则直线NA、NM、NB的斜率成等差数列·图1证明如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为:x=hy+m,由y2=2px,x=hy+m,消x得y2-2phy-2pm=0,∴y1·y2=-2pm·设点N(-m,n),则直线NA的斜率为kNA=xy11+-mn,直线NB的斜率为kNB=xy22+-mn·∴kNA+kNB=yy121-n2p+m+y2-ny222p+m=2yp12(y+12-pmn)+2py(22y+22-pmn)=2p(y1-ny12-y1y2+y22y2--y1ny2)=2p·y2(y1y-1yn2)(y-1y-1(y2y)2-n)=2p·y1ny(2(y1y1--y2y)2)=2p·y1ny2=2p·-2npm...     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…     

一个数学问题的简证与推广

《数学通报》2003年第10期1460题:设m∈N ,x,y,z∈R ,且xyz=1,求证:xm(1 y)(1 z) (1 x)y(m1 z) (1 x)z(m1 y)≥43.(1)原证分为①m=1,②m=2,③m≥3三种情况,用三种方法对(1)式分别予以证明.本文先给出(1)式的一个简证,再将(1)式予以推广,最后用同样的方法证明推广后的命题.简证(     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y2+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)2=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)2+(2m+1)²=2020,展开得4k2=2020,展开得4k²+4k+4m2+4k+4m²+4m=2018,于是有2k2+4m=2018,于是有2k²+2k+2m2+2k+2m²+2m=1009,     

有限几何与PBIB设计(Ⅰ)

设q为素数幂,F_q是有q个元素的有限域。记F_q上满足TKT′=K的全体2y阶方阵T对于矩阵的乘法成群,叫做F_q上的2y阶辛群,记作S_p_(2y)(F_q)。当把S_p_(2y)(F_q)看作F_q上的2y维向量空间V_(2y)(F_q)上的变换群时,我们就得到所谓辛空间或辛几何,记作SV_(2y)(F_q)。 设P是F_q上的秩为m的m×2y矩阵。我们约定同一个符号P也表示它所代表的m维子空间。若PKP′的秩(一定为偶数)为2s,就称P为SV_(2y)(F_q)中的一个(m,s)型子空间。又设α,β是SV_(2y)(F_q)中的两个向量。若αKβ′=0,就称α与β正交。SV_(2y)(F_q)中与一个m维子空间     

说说“均值换元”

<正>若x+y=m,则可令x=m2+t,y=m2-t,这种换元就称为"均值换元".用均值换元解决一些问题,可以简化解题步骤,降低解题难度,达到事半功倍的效果,下面略举几例,以飧读者.例1人教版《数学》七年级下95页例3解方程组3x+4y=165x-6y烅烄烆=33①②解令3x=8+t,4y=8-t,则5x=40+5t3,6y=24-3t2,     

三角代数上的零点(m,n)-弱可导映射

设m和n是任意固定的非零整数且m+n≠0,u是一个|mn(m+n)|-无挠的三角代数,δ是u上的一个线性映射.本文证明了:如果对任意的x,y∈u且xy=yx=0有mδ(xy)+nδ(yx)=mδ(x)y+mxδ(y)+nδ(y)x+nyδ(x),则在u上存在一个导子Φ和一个中心元λ使得对任意的x∈u,有δ(x)=Φ(x)+λx.     

The waiting spectra of the sets described by the quantitative waiting time indicators

The waiting spectra of the sets consisting of pairs of sequences with prescribed quantitative waiting time indicators are determined. More precisely,let R(x,y) and R(x,y) be the lower and upper quantitative waiting time indicators of y by x respectively in the symbolic space Σm(integer m 2) and define the level sets Sα,β={(x,y)∈Σ2m:R(x,y)=α,R(x,y)=β},where 0αβ∞,it is shown that the sets Sα,βare all of Hausdorff dimension 2.Besides,some further extensions of this result are also made.