函数的图象与性质

本讲主要讨论函数图象的三种变换:平移、对称、翻折,并介绍如何利用函数的图象解题.1)函数图象的平移变换是指函数y=f(x)与y=f(x a) b的图象间的关系:函数y=f(x a) b的图象是由函数y=f(x)的图象,沿x轴方向向左(a≥0)或向右(a<0)平移|a|个单位,再沿y轴方向向上(b≥0)或向下(b<0)     

对y=f(ax b)理解不当致错举例

函数f(ax b)是由函数.f(x)通过平移、伸缩变换得到的一个新函数,不少学生由于对函数.f(ax b)的有关概念的理解不透而出现解题错误.举例剖析如下. 错误1认为f(ax b)(a≠0)的反函数为f-1(ax b).     

向量法解截距型线性规划问题

在线性约束条件下,对于形如“z=ax＋by（a,b∈R）”的目标函数的最值问题,“课程标准”中的例题和“教材”都是介绍平移法．该解法运用函数平移的思想,思路简单,但步骤较多,特别是当线性约束条件或目标函数中含有参数时,考生往往束手无策．针对此类问题,本文利用向量法,对截距型线性规划问题进行巧思妙解,以期对大家有所启迪,起抛砖引玉的作用．     

抓住关键“点”解决函数图形的平移问题

<正>函数图形的平移变换是课程标准所要求的函数学习的主要内容之一.虽然课本上给出了平移规律,但同学们掌握和运用不好.在此我们一起探讨一下函数图形的平移问题.一、一次函数图像的平移变换一次函数图像平移,变换前后两条对应直线彼此平行.在坐标平面内,互相平行的两条直线解析式中k值相等,b值不同.两条直线的左右平移可以通过它们与x轴的交点坐标呈现,两条直线的上下平移可以通过它们与y轴     

利用平移解题举例

<正>平移是数学中的重要概念,在函数,平面几何,平面解析几何,立体几何中有着广泛的应用.平移不改变图形的形状和大小,只是位置发生变化,在某种程度上讲,平移就是一种变换就是化简.利用这一特性解答几题,供参考.例1若函数f(x)=(1-x~2)(x~2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则函数f(x)的最大值为.解析∵函数f(x)的图像关于直线x     

平移后奇（偶）函数的性质的应用

有一类函数f（x）是非奇非偶函数,但平移后的函数f（x＋p）（或f（x）＋b）是奇（偶）函数,利用奇（偶）函数的性质处理函数f（x＋φ）（或f（x）＋b）的有关问题,再去解决原函数f（x）的问题,往往会有出奇制胜的功效．     

利用点的坐标平移规律解题

<正>在学习平面直角坐标系的内容时,我们曾经学过点的坐标平移规律:将点(x,y)向右(或向左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上(或向下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b).当时限于所学的知识,对于这个规律的应用仅限于解决一类"已知平移前(后)点的坐标及平移的方向(水平方向或竖直方向)和距离求平移后(前)点的坐标"问题,其实这个看似简单的规律还有用场.     

函数y=（ax＋b）／（cx＋d）与函数y=k／x同形问题

大家知道函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc—ad≠0)的图象可由函数y=k/x(k≠0)经过平移而得到(称为同形)．根据函数y=k/x(k≠0)的表达式，我们能很快地知道该函数的图象及性质，那么是否可以根据函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc-ad≠0)的表达式也能判断函数的图象和性质呢?答案是肯定的，以下给出函数y=(ax b)/(cx d)(c≠0，bc-ad≠0)图象和性质的判断方法．     

函数图像平移后的关系式

<正>我们在学习一次函数、反比例函数、二次函数时,都会研究函数图像的平移,并求出平移后相应的函数关系式.对于不同函数图像的平移,我们往往会用不同的方法求出相应的函数关系式.笔者通过探索发现,只要用一种方法,就能求出这些函数图像平移后的关系式.一、一次函数图像的平移把一次函数y=2x+1的图像向上平移2     

两类创新导数题的思考

创新类型1 隔离直线 已知函数f(x)和g(x),若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的"隔离直线".     

运用转轴法探究双曲线y=ax＋b／x的几何特征

文 [1]着重探索函数y =ax + bx (ab≠ 0 ) (1)的应用价值 ,文 [2 ]运用判别式法验证了函数 y=(ax +c) + bx +d(ab≠ 0 )的图象是双曲线 ,本文运用转轴法来探究双曲线 (1)及其平移状态的几何特征 .引理 1　对于双曲线 (1) ,当b >0时 ,把直线 y=ax到y轴的角的平分线记为x′轴 ,则x轴到x′轴的角θ1=π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,把 y轴到直线 y =ax的角的平分线记为 y′轴 ,则 y轴到 y′轴的角θ2 =θ1=π4 + 12 arctana .证　如图 1,当b >0时 ,θ1=12arctana + π2 - 0 =π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,θ2=12π2 + (π +arctana) - π2 =π4 +…     

基于理解的“函数图象变换”教学的新设想

1问题提出函数图象的平移与伸缩变换在高中数学中占有十分重要的地位,而其中水平方向的平移与伸缩变换是高中数学的一个难点,学生对它的掌握存在很多问题,主要表现在以下两个方面:·基于思维定势,错误套用法则从函数y=f(x)的图象变换到y=f(ωx+φ)的图象,其水平方向的平移法则是"左加右减",而     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

平移问题错解剖析

在解答平移问题时,同学们常因没有正确理解平移实质而致错,下面举例说明.1概念不清致错例1将函数y=3x-6的图象按向量a平移后,得到函数y=3x的图象,那么a=.错解因为y=3x-6=3(x-2),所以要得到函数y=3x的图象,只需将函数y=3x-6的图象沿着x轴向左平移2个单位长度,故a=(-2,0).又函数y     

两种解法,孰是孰非

问题已知函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x), f'(x)在(a,b)上的导函数为f"(x),若在(a,b)上f"(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为"凸函数".……     

球型平移网络逼近周期函数

研究了球型平移网络对周期函数的逼近问题．文章首先将基函数eimx分别表示成为两种球型平移网络．进一步,将有关多重Fourier级数的Bochner-Riesz平均表示成为球型平移网络的形式．在此基础上构造出了两类球型平移网络序列,并借助于有关Bochner-Riesz平均对Lp空间中函数的逼近结果给出了这两类球型平移网络序列在Lp空间中的逼近阶．     

对相位变换规律的正确认识

先看一个例题 .给出下列六种图象变换方法 :①将图象向左平移 π3个单位 ;②将图象向右平移 π3个单位 ;③将图象向左平移 π6 个单位 ;④将图象向右平移 π6 个单位 ;⑤将图象向左平移π个单位 ;⑥将图象向右平移π个单位 .利用上述变换中的某些方法能由函数y =sin3x的图象得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,则变换方法的序号是 .错解 1:∵sin(3x +π) =sin3(x +π3) ,故只需将函数 y =sin3x的图象向左平移 π3个单位 ,才能得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,故正确的变换方法序号应选① .错解 2 :把函数 y =sin3x的图象向左平移π个单位后得到…     

非线性特征值问题平移对称幂法的收敛率估计

平移对称幂法（SS-HOPM）在求解源自玻色-爱因斯坦凝聚态的非线性特征值问题时,不仅具有较高的计算效率,而且具有点列收敛性,但其收敛率尚未得到有效估计.本文通过将多项式Kurdyka-Łojasiewicz（K-Ł）指数界的相关结果应用到所涉及优化问题的Lagrange函数上,得到了平移对称幂法的次线性收敛率估计,从理论上解释了平移对称幂法的计算效率.     

某些Mercer核矩阵的权范数

借助整函数插值研究由函数的广义平移所生成的Mercer核矩阵及其逆矩阵权范数的上、下界估计问题,将定义在无限区间上整函数的广义平移所生成的Mercer核矩阵权范数界的估计转化为其Fourier-Bessel变换来估计.     

不用平移公式解决平移问题

平移涉及两个方面的问题,一是移图,二是移轴.传统教材历来都是介绍移轴,而试验教材是介绍移图,其目的是为了减轻学生负担,且与函数图像的平移变换联系起来.为了帮助同学们更深刻地理解平移公式与函数图像平移的一致性,本文就课本及参考书上的用平移公式解决的问题,不用平移公式而直接用图像平移变换的结论加以解决,显得自然而简捷,望能给同学们一些帮助与启迪. 我们知道,函数y=f(x-a)+h(a>0,h