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在高中数学新课程中,向量的工具作用被明显突出.向量具有代数与几何的双重属性,是数形结合的典型案例,同时也是高考命题的一大热点.引入向量,为解决数学问题提供了一种新的思维方式,使一些原本解决方法较为繁琐的问题解决起来变得更为快捷轻松.本文谈角平分线问题的向量求解视角,并举例说明.定理1若OC是∠AOB的平分线,则向量→OA/→OA|+→OB/→OB|是直线OC的一个方向向量. 相似文献
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<正>三角形是初高中几何学习的重要对象和载体,特殊的三角形具有很多性质,向量是联系几何与代数的桥梁,利用坐标解决几何问题是非常好的方法.本文将从不同视角研究三角形中的角平分线问题.1原题呈现在直角坐标系中,如图1,已知点A (0,1)和点B(-3,4),OC为∠AOB的平分线,且OC与AB交于点C,求点C的坐标. 相似文献
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笔者在探究一类问题的过程中,发现角平分线上的点有如下性质:图1性质如图1所示,P为∠AOB的角平分线OC上一点,且满足OP=d,过P作直线l交OA,OB于M,N两点,若∠AOB=2θ,则O1M O1N为定值2cdosθ.证明设∠MPO=α,则∠NPO=π-α,∠OMP=π-θ-α,∠ONP=θ-α,在△OPM中,由正弦定理知sOin 相似文献
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学了角平分线之后,你是否注意到平角,因为角平分线而与直角有了许多有趣的联系。让我们一起往下看. 例一如图1,已知A、O、B三点在同一条直线上,OC是一条射线,OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC,你猜猜∠DOE的度数是多少? 相似文献
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《数学通报》2003,(8)
20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1 O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科 王承宣 61 5 30 2 )证明 如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO… 相似文献
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在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1 用向量证明三角形角分线定理 .证明 如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1 命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明 设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得 AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得 … 相似文献
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角平分线上的点到角两边的距离相等.这是角平分线的重要性质.
如图1,若∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,则PD=PE. 相似文献
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对于课本中的题目同学们不能只满足会解,还要对他们认真的多思考,通过多思考相信你会得到很多收获的,下面我们就以北师大版九年级教材上册P37习题1.9第3题为例进行说明,或许对你的学习有所帮助.题目已知:如图1,点P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D,求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线. 相似文献
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笔者通过对“有公共顶点,而且其中一个角是另一个角的一半”这类条件的问题的研究,发现解题方法有一些共同之处,姑且把满足这类条件的问题称为共顶点两倍角问题.
图1就是共顶点的两倍角:∠COD,∠AOB有共同的顶点O,且∠AOB=2∠COD.为了叙述方便,把∠COD称为“小角”,∠AOB称为“大角”,可以将图1看做一个基本图形. 相似文献
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关于正则点的几个结论 总被引:1,自引:1,他引:0
非等边三角形有两个正则点 Z和 Z′,为了论证上的方便 ,我们以后将分别称它们为第一和第二正则点 ;它们关于三边的对称点所形成的 (正 )三角形相应地称为第一和第二正则三角形 .定理 1 若不等边△ ABC的面积为△ ,则它的第一和第二正则三角形的边长分别为4△λ 和 4△λ′,面积分别为 4 3△2λ2 和4 3λ′2 △ 2 .其中λ =a2 b2 - 2 abcos( C 6 0°) ,λ′=a2 b2 - 2 abcos( C - 6 0°) .证明 设点 P关于 OA和 OB的对称点为 P1、P2 ,如果点 P在∠ AOB的内部 (图 1 ) ,则 ∠ P1OP2 =2∠ AOB.如果点 P在∠ AOB的外部 (图… 相似文献
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平面向量基本定理的面积表示及其应用 总被引:1,自引:0,他引:1
在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE … 相似文献
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结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点).
具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略.
结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形.
具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形). 相似文献