数学竞赛中的指数和对数函数问题

函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1 )叫做指数函数 ,定义域是Ｒ .函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1 )叫做对数函数 ,定义域是Ｒ+ ,指数函数与对数函数互为反函数 ,它们的图形关于直线 ｙ =ｘ对称 .指数函数和对数函数是两个重要的基本初等函数 ,也是中学代数的重点内容 ,熟练掌握指数和对数的有关概念、运算法则和性质 ,并能灵活地进行指数和对数运算是解决有关指数和对数函数问题的基础 .1　化简与求值例 1　已知ｌｏｇ62 7=ａ ,试求ｌｏｇ181 6之值 .分析 :由于所求对数与已知的对数底数不同 ,为此可考虑应用换底公式 .由二个对数式…     

高一同步测试题

指数函数与对数函数选择题1　函数 ｆ(ｘ) =2 3 2ｘ -ｘ2 ( 1≤ｘ≤ 3) ,则 ｆ- 1(ｘ)的定义域是 (　　 )(Ａ) [1,4 ].　　　　 (Ｂ) [1, ∞ ].(Ｃ) [0 ,4 ]. (Ｄ) ( 0 , ∞ ) .2　将函数 ｙ =2 ｘ 的图象向左平移 1个单位得图象Ｃ1;再将Ｃ1向上平移 1个单位得图象Ｃ2 ;作出Ｃ2 关于直线 ｙ =ｘ对称的图象Ｃ3,则Ｃ3对应的函数解析式是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) 1　 (ｘ >1) .(Ｂ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) - 1　 (ｘ >1) .(Ｃ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) - 1　 (ｘ >- 1) .(Ｄ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) 1　 (ｘ >- 1) .3　 0 .9<ａ <1,ｘ =…     

关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

综合题新编选登

题 1 5　函数ｆ(ｘ) =11 ａ·2 ｂｘ的定义域为Ｒ ,且ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0 (ｎ∈Ｎ) .1 )求证 :ａ >0 ,ｂ <0 .2 )若 ｆ(1 ) =45 且ｆ(ｘ) 在 [0 ,1 ]上的最小值为 12 ,求证 :ｆ(1 ) ｆ(2 ) … ｆ(ｎ) >ｎ 12 ｎ 1- 12 (ｎ∈Ｎ) .证　 1 )∵ ｆ(ｘ) 的定义域为Ｒ ,∴ 1 ａ·2 ｂｘ≠ 0恒成立 ,即ａ≠ - 2 -ｂｘ,而 - 2 -ｂｘ<0 ,∴ａ≥ 0 ,若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1与ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0矛盾 ,故ａ >0 .ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =ｌｉｍｎ→∞11 ａ·2 -ｂｎ=1　　　 (0 <2 -ｂ<1 ) ,11 ａ　 (2 -ｂ=1 ) ,0　　　 (2 -ｂ>1 ) .∴ …     

貌似神异题目的并组辨析

数学中有很多题目 ,表面相似 ,实质存在着差异 ,学生们常分辨不清 .通过并成题组 ,进行类比辨析 ,在比较之中加深理解 ,才能明确似在那里 ,异在何处 .例 1　 1)已知函数ｆ(ｘ) 的定义域为 [- 1,1],求函数 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域 .2 )已知函数 ｆ[ｌｏｇ12 ( 3-ｘ) ]的定义域为 [1,52 ],求函数ｆ(ｘ) 的定义域 .3)已知函数 ｙ =ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [12 ,2 ],求函数 ｆ[( 12 ) ｘ- 2 ]的定义域 .解　 1)求 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域是求其中ｘ的取值范围 ,而ｌｏｇ12 ( 3-ｘ)∈ [- 1,1],由 - 1≤ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ)≤ 1,…     

课外练习

高一年级1.已知关于ｘ的不等式 (ｘ -1)ｌｏｇ3ａ2 -6ｘｌｏｇ3ａ +ｘ + 1>0在 [0 ,1]上恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .(浙江绍兴市第一中学 (3 12 0 0 0 )　虞金龙 )2 .某人从 1月起 ,每月第 1天存入 10 0元 ,到12月最后一天取出全部本金及其利息 :已知月利率是 0 .165 % ,税率 2 0 % ,那么实际取出多少钱 ?(江苏苏州市苏苑中学 (2 15 12 8)　周　松 )3.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 -1(ｘ≥ 1)的图像是ｃ1 ,曲线ｃ2 与ｃ1 关于直线ｙ =ｘ对称 .(1)求曲线ｃ2 的方程ｙ =ｆ(ｘ) ,(2 )设函数ｙ =ｇ(ｘ)的定义域为Ｍ ,ｘ1 ,ｘ2∈Ｍ且ｘ1 ≠ｘ2 .求证 :|…     

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题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

函数单调性在解不等式与方程中的应用

1　在解不等式中的应用例 1　解不等式(1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <(0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ.解　∵ (1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 =541-(ｌｏｇ2 ｘ) 2=54 · 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <458,即 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <459.∵ 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 为单调减函数 ,∴ (ｌｏｇ2 ｘ) 2 >9.即ｌｏｇ2 ｘ >3或ｌｏｇ2 ｘ <- 3 .故此不等式的解是 :0 <ｘ <18或ｘ >8.例 2　已知 ｙ1=ａｘ2 -3ｘ 1与 ｙ2 =ａｘ2 2ｘ -5 ,其中ａ >0且ａ≠ 1 ,若 ｙ1<ｙ2 ,求ｘ的值 .解　若ａ >1 ,则 ｙ…     

指数函数和对数函数

本单元知识点及重要方法本单元的主要知识点是 :指数函数ｙ =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)和对数函数 ｙ =ｌｏｇａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)的概念、图象和性质 ;特殊的指数方程和对数方程的解法 .其难点内容是 :1)指数型 ｙ =ａｆ(ｘ) 和对数型 ｙ=ｌｏｇａｆ(ｘ)复合函数单调性的判断 .2 )解对数方程的增根问题 .解指数方程和对数方程的基本方法有 :定义法、同底比较法、换元法 .练　习选择题1　设 0 <ａ <1,α >0 ,在下列四个选项中正确的选项是 (　　 )(Ａ) ( 1-ａ) α>( 1 ａ) α.(Ｂ)ｌｏｇ(1 -ａ) ( 1 ａ) >0 .(Ｃ) ( 1-ａ) 1 ａ>1.(Ｄ) ( 1-ａ) 1…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

上期课外练习解答

高一年级1 .∵　 11 0 1 +1 0 01 0 1 =1 ,又ｆ(11 0 1 ) +ｆ(1 0 01 0 1 ) =1 ,∴　ｆ(11 0 1 ) +ｆ(21 0 1 ) +… +ｆ(1 0 01 0 1 ) =5 0 .2 .任取ｘ1、ｘ2 ∈ (-∞ ,ａ)且ｘ1<ｘ2 ,则 -ｘ1>-ｘ2 >-ａ 2ａ -ｘ1>2ａｘ -ｘ2 >ａ .∵　ｙ =ｆ(ｘ)在 (ａ ,+∞ )上是减函数 ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) <ｆ(2ａ -ｘ2 ) .又∵　ｘ∈Ｒ都有ｆ(ａ +ｘ) =ｆ(ａ -ｘ) ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) =ｆ[ａ +(ａ1-ｘ1) ]=ｆ[ａ -(ａ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) ,同理得ｆ(2ａ -ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｙ=ｆ(ｘ)在 (-∞ ,ａ)上是增函数 .3 .若ｘ∈ [-1 ,1 ]…     

养成良好的审题习惯

本文列举一系列结构相同、形式相近、解法迥异的题组 ,在剖析题意的基础上 ,以期引起同学们的注意 ,旨在提醒大家养成良好的审题习惯 .题组 1　( 1 )已知函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ12 (ｘ2 +ｋｘ + 2 )的值域为Ｒ ,求实数ｋ的取值范围 ;( 2 )已知函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ12 (ｘ2 +ｋｘ + 2 )的定义域为Ｒ ,求实数ｋ的取值范围 .分析　题 ( 1 )、( 2 )中 ｆ(ｘ)的解析式完全相同 .题 ( 1 )中值域为Ｒ时 ,必须有 ｇ(ｘ) =ｘ2+ｋｘ + 2取尽所有正数 ;题 ( 2 )中定义域为Ｒ时 ,是指对ｘ∈Ｒ ,ｇ(ｘ) =ｘ2 +ｋｘ + 2 >0恒成立 ,但对ｘ∈Ｒ时 ,ｘ2 +ｋｘ + 2…     

关于分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的 ,并未作深入说明 ,许多同学对此认识往往比较肤浅 .本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下 :1.分段函数的含义所谓“分段函数” ,习惯上指在定义域的不同部分 ,有不同的对应法则的函数 ,对它应有以下两点基本认识 :(1)分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数 ;(2 )分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .2 .求分段函数的函数值例 1已知函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ3ｌｏｇ13ｘ(ｘ <0 ) ,(0≤ｘ≤ 1) ,(ｘ >1) ,求ｆ(ｆ(ｆ(ａ) ) ) ,(ａ <0 ) .分析　求分段函数的函数值时 ,首先应…     

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题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

变换思维角度解题

在解题过程中 ,我们会发现有的题若按一般解法往往比较繁锁或较难入手 ,如果变换一下思维角度 ,立刻给人柳岸花明的感觉 .现举例如下 :例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =3ａｘ + 1 -2ａ在[-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 (ｘ≠± 1 ) ,则ａ的取值范围是 (　　 ) .解法一　 (常规解法 :对函数进行讨论 .)( 1 )若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1 ,在 [-1 ,1 ]上不存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 .( 2 )若ａ≠ 0 ,要使一次函数ｆ(ｘ) =3ａｘ+ 1 -2ａ在 [-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 ,必须满足ｆ( 1 ) ｆ( -1 ) <0 ,即　 ( 3ａ + 1 -2ａ) ( -3ａ + 1 -2ａ) <0 ,∴…     

映射与函数

内容 :映射、函数、函数的单调性和奇偶性、反函数 .选择题1　下列命题中 ,真命题为 (　　 )(Ａ)若Ａ ={ａ} ,Ｂ≠ ,则Ａ到Ｂ的映射最多能构建 1个 .(Ｂ)若Ａ≠ ,Ｂ ={ｂ} ,则Ａ到Ｂ的映射仅能构建 1个 .(Ｃ)若Ａ =Ｂ≠ ,则Ａ到Ｂ上的一一映射仅能构建 1个 .(Ｄ)若Ａ≠ ,Ｂ≠ ,则Ａ到Ｂ上的一一映射至少能构建 1个 .2　设 ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,且存在反函数 ｆ- 1(ｘ) ,对任意的ａ∈Ｒ ,则下列说法正确的是 (　　 )(Ａ)方程 ｆ(ｘ) =ａ一定有解 .(Ｂ)方程 ｆ- 1(ｘ) =ａ一定有解 .(Ｃ)方程 ｆ(ｘ) =ａ一定无解 .(Ｄ)方程 ｆ- 1(ｘ) =ａ…     

函数图象的对称性与函数的周期性

拜读了《数学通讯》1999年第 7期逄坤敬老师《有关函数周期性的几个结论》一文 ,很受启发 ,由此联想到函数图象的对称性与函数周期性的关系 .原文得出的三个结论为 :结论 1　如果定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 是偶函数 ,且ｘ =ａ (ａ≠ 0 )是它的一条对称轴 ,则 ｆ(ｘ) 必是周期函数 .结论 2　如果定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 是奇函数 ,且ｘ =ａ (ａ≠ 0 )是它的一条对称轴 ,则 ｆ(ｘ) 必是周期函数 .结论 3　定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 有两条对称轴ｘ =ａ和ｘ =ｂ (ａ≠ｂ ,ａ ,ｂ中至少有一个不为零 ) ,则ｆ(ｘ) 是周期函数 .对于结论 3,若ａ ,ｂ中…     

从两道试题谈条件功能的挖掘

问题 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ -2ｘ 2 (ａ >0 ,ａ≠ 1) .1)求 ｆ(ｘ) 的定义域 ,并判定ｆ(ｘ) 在定义域内的单调性 ;2 )若ｘ∈ [ｍ ,ｎ] (ｎ >ｍ )时 ,ｆ(ｘ) 的值域为 [1 ｌｏｇａ(ｎ -1) ,1 ｌｏｇａ(ｍ -1) ] ,求ｍ和ａ的取值范围 .分析 :1)定义域为 (-∞ ,-2 )∪ (2 , ∞ ) ;当ａ∈ (0 ,1)时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递减 ;当ａ∈ (1, ∞ )时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递增 .2 )先由条件中的对数表达式ｌｏｇａ(ｍ -1)和ｌｏｇａ(ｎ -1)有意义知ｍ >1,ｎ >1,又由[ｍ ,ｎ] (-∞ ,-2 )∪…     

例说分段函数若干问题的求解

所谓“分段函数” ,是指在其定义域中 ,对于自变量的不同取值范围 ,对应法则不同的函数 .分段函数是一个函数 ,而不是几个函数 ,其定义域是各段定义域的并集 ,值域也是各段值域的并集 .1　如何求分段函数的函数值这个问题的关键是先要确定所给自变量的值在定义域中的哪一段内 ,再按相应的对应法则求值 .例 1　设 ｆ(ｘ) =3ｘ2 - 4π0　(ｘ >0 ) ,(ｘ =0 ) ,(ｘ <0 ) ,求 ｆ( - 2 ) ,ｆ( 1 ) ,ｆ[ｆ( - 1 ) ],ｆ[ｆ( 2 ) ],ｆ{ｆ[ｆ( - 5) ]}.解　由 - 2 <0 ,得 ｆ( - 2 ) =0 ,由 1 >0 ,得 ｆ( 1 ) =3·1 2 - 4=- 1 ,由 ｆ( - 1 ) =0 ,得 ｆ[…     

上期课外练习解答

高一年级1.设ｆ(ｘ) =(ｘ - 1)ｌｏｇ23 ａ - 6ｘ·ｌｏｇ3 ａ +ｘ + 1=( 1+ｌｏｇ23 ａ - 6ｌｏｇ3 ａ)ｘ + 1-ｌｏｇ23 ａ ,∵ ｆ(ｘ)在 [0 ,1]上恒成立 ,由一次函数的单调性知 :ｆ( 0 ) >0 ,ｆ( 1) >0 ,　解得　 13 <ａ <33 .2 .设每期期初存入金额Ａ ,连存ｎ次 ,每期的利率为Ｐ ,那么到第ｎ期期末时 ,本金为ｎＡ ,则应得到的全部利息之和为 :Ｓｎ=ＡＰ +ＡＰ·2 +… +Ａ·ｐ·ｎ =ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ ,应纳税为　 ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ× 2 0 % =ｎ(ｎ + 1)10 ＡＰ ,实际取出　Ａ[ｎ + 2ｎ(ｎ + 1)5Ｐ] ,当Ａ =110 0 ,ｎ =12 ,Ｐ =0 .165%时 ,…