向√N逼近的梯子

古希腊人曾制造了一种梯子，不是用来登高的，而是用来求无理数√2的近似值的，如下图所示．他们煞费苦心构造向√2逼近的梯子，也许是因为根深蒂固的“比数情结”吧．总以为可以找到两个自然数，使它们的比等于√2．     

新题征展(56)

A　题组新编图 11 .如图 1 ,在由二项式系数构成的杨辉三角形中 :( 1 )在从上往下的 n( n∈N* )行数中非 1的数字之和为;( 2 )在斜线 AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形数列 :1 ,2 ,3 ,3 ,6,4 ,1 0 ,… ,记其前 n项和为 Sn,则 S1 6=;( 3 )第行中从左向右第 1 4与第 1 5个数的比为 2∶ 3 ;( 4)在第行中出现三个相邻的数它们的比是 3∶ 4∶ 5 .2 .( 1 ) 4名男学生、3名女学生排成一排 ,3名女学生中恰有 2名相邻的排法有多少种 ?( 2 )一条连椅有 7个座位 ,4人就坐 ,3个空座位中恰有 2个连在一起的坐法有多少种 ?( 3 )在 7枪连续射击中 ,命中…     

有趣的三角数

在两千多年前,古希腊人就研究过形如S=(1 n)n/2(n∈N)的自然数,这就是所谓的三角数,它的最小的前几个是1,3,6,10,….显然,S=1 2 3 … n,由此可知,除1以外的任何一个三角数,总可以分拆成多个连续自然数的和。这是三角数的一个有趣的性质。下面我们来考察数1990是否是一个三角数? 假设数1990是一个三角数,则有 1990=(k 1) (k 2) … m     

数学竞赛中的二项式问题

可能是考虑到教学进度的原因 ,在国内的中学生数学竞赛中 ,与二项式有关的试题比较少 ,但也时有出现 .还有些竞赛题虽不明显属于二项式的范围 ,但运用二项式定理可以巧妙地加以解决 .对于二项式定理 ,应熟练掌握以下三个方面的内容 :1) (a +b) n(n∈N )的展开式的通项公式为Tr+ 1 =Crnan-rbr.2 ) (a +b) n=∑nr =0Crnan -rbr 的逆向应用 .3)二项式系数的两个性质 .构造二项式解题 ,是对二项式定理高层次的应用 ,关键在于发现所给问题与二项式的联系 ,常用于组合数求和、不等式证明、数的整除性、判断数的特征等 .例 1　已知 ( 3 x + 2x) n…     

一个数列求解通项中的数学思想及知识的蕴含

本人兴之所致,探讨这样一个数列1,2,2,3,3,3,…m,m,mm个,…(1)曾编程输出过它.问:数列(1)的通项是什么?把(1)排成数表:12 23 3 3…………m m m…m…………那么,处于方框内的数,其所在·位·置形成的数列:1,2,4,7,11,16,22,…(2)其通项如何表示呢?(2)是“二阶等差数列”.应用“待定系数法”,不难解得其通项为an=n2-n2 1.n∈N*(3)这样,把问题反过来,an还原为位置n,(3)中的n即为数表中方框内的值bn=x,须知它为所在行同样值的代表,则由(3)变形:n=x2-x2 1,x2-x-2(n-1)=0.由x>0,解得x=1 1 8(n-1)2.这就是(1)的通项公式:bn=1 8n-72 n∈N*记号[k]表…     

对n个函数的最佳同时L_1逼近

1 G.M.Phillips和B.N.Sahney在[1]中讨论了对两个实值函数f_1(x)和f_2(x)的最佳同时L_1逼近问题.接着,A.S.B.Holland,J.H.McCabe,G.M.Phillips和 B.N.Sahney在[2]中把[1]的部分结果推广到了n个实值函数的情形. 按照[2],n个实值函数的最佳同时L_1逼近有三种不同提法,它们可以分别定义如下.     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

新题征展(37)

A　题组新编1 .甲、乙两支中学生足球队 ,苦战 90分钟 ,比分 2∶ 2 .现决定各派 5名队员 ,每人射一个点球决定胜负 .假设两支球队派出的队员点球命中概率均为 0 .5.(1 )两队球员一个间隔一个出场射球 ,有多少种不同的出场顺序 ?(2 )不考虑乙球队 ,甲球队五名队员有连续两个队员射中 ,且其余队员均未射中 ,概率是多少 ?(3 )甲乙两队各射完 5个点球后 ,再次出现平局的概率是多少 ?2 .已知 a、b、c∈ R ,且 a b c=1 ,证明下列不等式 :(1 ) abc≤ 12 7;(2 ) ab bc ca≤ 13 ;(3 ) abc 1abc≥ 73 02 7;(4 ) 1a 1b 1c≥ 9;(5) 1ab 1bc 1ca≥ 2…     

说课案例一则——“平面向量基本定理”的形成过程

1　教材分析1 .1　教材地位　是平面向量的坐标表示的基础 ,是本章重要环节 .1 .2　教学重点　引导学生了解平面向量基本定理的形成过程和平面向量的基本定理 .1 .3　教学难点　平面向量基本定理的发现和形成过程 .2　设计流程及说明2 .1　“平面向量基本定理”分层次探究如果e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量①,那么对于这一平面内的任一③向量a ,有且只有② 一对实数λ1,λ2 使a=λ1e1+λ2 e2 .2 .2　分三层次探究定理探究问题① :是不是给定一个向量都可以分解成两个不共线的向量 ?(物理实例 )探究问题② :这样的分解是否唯一 ?(数学…     

重论“水泵站”该修何处

1问题提出如图1,A、B两个村子在河CD为同侧,AD⊥CD,BC⊥CD,垂足分别为C、D,现要在河边CD上建一水泵站P向A、B两村输送自来水,问点P在CD的什么位置时,可使所使用的水管最短?(不妨设AD=a,BC=b,AB=x,a≤b)这个问题用图2的方法解决,此时EA+EB最短.现在问题是:水泵站设置可分别向A、B村供水(比如图2、4),也可以是经过A村向B村供水(图3)等三种情况.     

试题研讨(23)

试题 1　 ( 2 0 0 4年北京市春季高考题 )下表给出一个“等差数阵”:4 7(　 ) (　 ) (　 )… a1j …712 (　 ) (　 ) (　 )… a2 j …(　 ) (　 ) (　 ) (　 ) (　 )… a3 j …(　 ) (　 ) (　 ) (　 ) (　 )… a4j ………………………ai1ai2 ai3 ai4ai5… aij ………………………其中每行、每列都是等差数列 ,aij 表示位于第i行第 j列的数 .( )写出 a45的值 ;( )写出 aij 的计算公式 ;( )证明 :正整数 N在该等差数列阵中的充要条件是 2 N 1可以分解成两个不是 1的正整数之积 .命题溯源　本题可能是由 1 995年《中学数学》(湖北大学 )…     

有趣的数表与数阵问题(中)

<正>下面再讲几个数阵问题,它们的难度较大,这更能激发我们的探知欲,提升我们的数学思维能力.例5下表给出一个"等差数阵":其中每行、每列都是等差数列,a_(ij)表示位于第i行第j列的数.(1)写出a_(45)的值;(2)写出a_(ij)的计算公式;(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2 N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.     

Ramsey数的若干新性质

Ramsey数N(q_1,q_2,…,q_n;t)是组合数学中很有意义的一类数.经过研究,作者得到了以下结果,利用这些结果能导出一些Ramsey数的新下界. 本文所用代表数的符号均表示任意正整数. 定理1 若q_0、q_1、…、qn≥t≥2,则N(q_0+q_1-1,q_2,q_3,…,q_n;t)≥N(q_0.q_2,q_3…,q_n;t)+N(q_1,q_2,…,q_n;t)-1.     

建立模型解“双点运动问题”

数学中常见的涉及速度的点的运动问题一般分为两类 :单点运动和多点运动 (平面或空间的两点以上的共同运动 ) .而后一类问题 ,多被设计为开放题 .我们知道 ,数学揭示的是事物运动变化规律的数量关系和空间形式 ;因此 ,对于上述后一类问题 ,一般可以通过寻求点的运动规律、建立适当数学模型的方法予以解决 .一建立方程模型图 1例 1　 (梯子问题 )如图 1,一个长为 10米的梯子ＡＢ斜靠在墙上 ,梯子的顶端Ａ距地面 8米 .如果Ａ以ａ米每秒的速度下滑 ,猜一猜 :底端Ｂ也以相同的速度滑动吗 ?并计算当ａ =1时Ｂ滑动的速度 .略解　设Ｂ滑动的速度为…     

问题与解答

一本期问题 1.设a、m、n是正整数,n是奇数。证明数a~n-1和a~m+1的最大公因数不大于2。 2.证明数2~(5n+1)+5~(n+2)当n=0,1,2,…时,可以被27整除。 3.求出一个形如的整数的九位数,此数是四个不同素数的平方之积,且,(a_1≠0)。     

义务教育七年级数学研究性学习的一个案例

本案例依照北师大版义务教育课程标准实验教科书及其教学参考书 (七年级上册 )的指导思想进行设计和教学 ,文中的问题是以该教科书第 1 1 1页复习题C组第 3题为背景进行加工拓展而成的 ,特此说明 .1　学生作业单之一1 1　动手实践 :操作 1　用棋子摆出图 ( 1 )、( 2 )、( 3) ,数一数 :摆图 ( 1 )用个棋子 ,摆图 ( 2 )用个棋子 ,摆图 ( 3)用个棋子 .操作 2　按照上述方式摆出第 ( 4 )个图形和第 ( 5 )个图形 ,数一数 :摆图 ( 4 )用个棋子 ,摆图 ( 5 )用个棋子 .提示 :摆出第 ( 4 )、( 5 )个图形的方式是否唯一呢 ?1 2　自主探索 :问题 1　…     

课外练习

初书年级 1.下面竖式中“学、习、雷、锋”代表4个连续的数字,那么,它们各代表什么数字,使算式成立?(雷代表最小的自然数;锋代表最小的一位数) 学习雷锋X学习雷锋 口口口锋 口口口雷 口口口习 口口口学锋雷口口口口雷锋(山西太谷县东盛小区(030800)要二海、郝承玲) 2一个数a,,aZ,…,a,,若al一告, 从第二个数起,每个数都等于1与它前面的 那个数的差的倒数,求内005的值. (江西省新干县桃源中学(331316)曾向根) ,.~,,、.,_.1 3.化简:(x+妇+(2x十;毛冶刃+(3x+ ’.’,‘、一’挤’、一’IX2了/’、一’ 1、二,____,1 万子六v)十…+(ZOO5x+一们…     

新题征展(92)

A题组新编1.设函数f(x)=2sinωx,x∈[-π4,π3].其中ω是非零常数.(1)若f(x)是增函数,则ω的取值范围是.(2)若ω<0且f(x)的最大值为2,则ω的最大值等于.(3)若ω=32,方程f(x)=3x2-1的两个实根为x1、x2,那么下列结论中正确的是A.-π4相似文献   

用构图法巧解竞赛题

所谓构图法,指的是构造与数量关系对应的几何图形(解题时不一定要画出具体的图象),用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.鱼有了水,才会有生命的延续;数有了形,使得数学更精彩.数学竞赛中的很多代数问题,一般都以实际问题为背景,而这些背景又可以由几何图形来反映,这时抽象的数量关系完全可以通过构造由它所对应的几何图形直观地表达出来,通过研究其几何特征,我们便可以根据图形的性质来解决它.下面举几例加以说明.例1(第十一届“希望杯”数学竞赛初二第1试试题)适合|2a 7| |2a-1|=8的整数a的值的个数有()(A)5个(B)4个(C)3个(D…     

构造方程证明两个三角恒等式

在平时的练习中有这样一道题:证明tanπ/7·tan2π/7tan3π=√7,不难得到tanπ/5tan2π/5=√5,tanπ/9tan2π/9tan3π/9tan4π/9=√9,于是猜想tanπ2n+1tan2π/2n+1…tannπ/2n+1=√2n+1(Ⅰ)又知cosπ2n+1cos2π2n+1…cosnπ/2n+1=1/2n(Ⅱ)于是应该有sinπ2n+1sin2π2n+1…sinnπ/2n+1=√2n+1/2n(Ⅲ),其中n∈N+ 上述三个恒等式中任意两个就可以推出第三个,Ⅱ可以用一种较简便的方法予以证明,下面用构造方程的方法证明Ⅰ和Ⅲ.