数学解题教学与数学美

“问题是数学的心脏”．只有通过问题的解才能训练学生的数学思维，又只有在充满兴趣的情境下才能训练学生的数学思维，更只有在数学美的氛围中才能对数学解题充满兴趣．什么是数学美呢?它就是数学的优美感．数学家庞加莱说：“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感．”     

76 两条直线所成的角

[主持人按本期两篇的共同点是：课题内容虽略显平谈，是并不怎么难于处理的教材．然而，设计人恰在平谈之中显示出了它的不平淡，深思熟虑后发掘出了它的思想方法内涵：丁老师意识到解数学问题也常常是“起头难”，在他的这一节课中，就深谋远虑地引导学生，在“问题的数学化”、“问题的分解”上下功夫：画一个图；引入适当的符号;借表出已知是什么，条件、要求的又是什么？—要让学生自己想到并理解好，本题的实质就是“已知k1、k2求θ”，本不是件易事．从而，忽视这个环节，“一带而过”的教法显然是不可取的．于老师的设计，是概念教学…     

看清“身份”始作答

解决集合问题时，首先要从认清元素的“身份”开始．往往需要看清楚是哪个方程或不等式的解集；分析清楚点集中的点在什么曲线上运动，考虑能否利用集合性质解题．     

对“非坐标向量”解决立体几何问题的规律的探讨

近几年，高考立体几何解答题的标准答案几乎清一色用的是坐标向量法（另一种为综合几何法）．笔者认为：“非坐标向量”也应引起我们的重视．首先，非坐标向量也是向量，并且它是研究向量的起点和基础．其次，它具有较大的自由性，它对发展学生思维有很好的作用，坐标向量的这种作用相对较差．第三，它的应用范围更广泛，一些问题用坐标向量难以解决，用非坐标向量容易解决；在一定程度上坐标向量可以看成非坐标向量的一种特殊形式和特殊表现．     

关于“非截尾型L统计量的Bootstrap逼近”一文的更正

关于“非截尾型Ｌ统计量的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ逼近”一文的更正成平（中国科学院系统科学研究所，北京１０００８０）武汉大学安军同志曾致函本人，他指出我们文章［１］引理３．３证明中的“≤”应是“≥”；因此该引理不成立．然而这是否影响原文定理３．１的结论呢？我...     

一类多目标规划的同伦方法

1．引言考虑下述多目标规划问题：其中F（x）一（fi（x），人（x），…，人（x》”，人（x）（j—1，2，…，m）EC’，g；（x）（i—l，2，…，P）EC’，X6R“对于问题（P；），若考虑在最不利的情况下找出一个最有利的方案，依据「l〕，可转化为求下述问题（P。）：其中U（F（x》一max人（x））且有：引理1［‘］问题（P。）的最优解为问题（P；）的弱最优解．显然，问题（P。）等价于下述问题（P。）［‘］：则问题（P。）等价于下列问题（P．）：2．同伦方法的建立由【3j知，相应于（P。）的Kuhn－Tucker方程：其中Y一dia－（－…     

怎样才算"好课"

随着新课程的实施，广大一线教师最为关心的问题之一就是：什么样的课堂教学才是符合课程改革理念的好课?对这个问题，许多老师感到很茫然，正如有些老师所说，教了几十年的书，现在反而不知道什么是一堂好课了．对一堂课很难(事实上是不可能)列出一些标准来衡量它的好坏．这里我想先从反面来考虑这个问题。     

67“S~2 C~2 S·C”型例题的教学

主持人按当代教育家强调指出：“学习怎样学习和学习怎样思考，应当是学校的最重要的两个科目”（参见《学习的革命））P73，上海三联书店，1997）．“学会思维”，理应是数学课的一项重要的教育任务；“会教思考”，是鉴别数学教师水平的一项主要指标。数学教师间的差异，甚至从有多少份额“关心学生会不会思维的意识”上，就可以作出分别了．要教好思维，要诀只有一个：（不妨推迟判断，）经常“追根刨底”，重视有关信息的搜集与分析．决不要学生一说出解答就满足，常常不忘追问一句：“你是怎么想到的？”“根据什么信息特征，才使你产…     

转化在初中数学教学中的运用

在初中数学的学习过程中,学生常会遇到一些难以理解或者相对复杂的问题,此时他们往往会感到手足无措．因此,教师要帮助学生领会这些问题的实质,把握问题的特征,从而找到具有“普适”意义的“通法”来解决问题．“转化”恰恰是解决数学问题的基本思维策略,也是分析问题的一个重要的思想方法．什么是“转化”方法？布卢姆曾经说过：转化方法是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”．就具体的数学问题解决来说,就是要把问题通过转化,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而达到解决原问题的目的．     

正n边形对角线在形内交点的计数公式

１９８６年张忠辅先生提出“寻求正ｎ边形在形内交点的计数公式”问题，杨之猜想：当ｎ为奇数时，任何三条或三条以上对角线在形内不共点［１］．１９９７年罗增儒先生在他的专著《数学解题学引论》一书中，将其列为第８个待解决的问题．本文用解析法解答了这一问题．引理...     

材料利用率·乌鸦喝水·开普勒的猜测──对问题解决的再认识

问题解决作为一种数学教育观念,在我国越来越被广大中学教师所接受．在组织问题解决进行课堂教学时,如何选择问题,这是一个摆在我们中学教师面前的一个亟待解决的问题．在“问题”选择时,笔者认为选择“问题”不能仅仅考虑能否及时解决的问题,那些学生暂且还不能解决,或还不能完全解决,或将来不一定能解决的“问题”,只要它们具有启发性和探索性均应在被选之列．本文将以实例提出自己的一些看法,作为对“问题解决”教学的一点补充,愿与同行们继续探讨．在上完高中立体几何之后,组织一次如下“问题组”的教学．问题三材料利用率问…     

“弦切角”课例

教学目标：1．理解弦切角的概念，掌握弦切角的定理；2．能初步运用定理进行计算和证明；3．通过弦切角定理的证明使学生进一步了解从特殊到一般及分情况证明数学命题的思想和方法．重难点：定理的发现及证明．［点评：“弦切角”一节由两课时完成，第一课时的重点在“定理的发现及证明”，而不是认识性目标的落实．这是教师基于数学方法论教育方式的一种思考．教学目标3的提法是可取的，不仅规定了学生了解什么样的思想和方法，还指明了了解这种思想和方法的途径．］教学过程：1概念的引入（1）提问：什么叫圆周角？圆周角定理的内容是什么…     

如何对曲线方程中变量的取值范围进行说明

高二的同学在求曲线（或点的轨迹）方程时，往往对于什么时候要对方程中变量的取值范围进行说明以及如何说明感到棘手．本文对这个问题谈点看法，供大家参考．1在什么时住必须说用？我们知道，如果：1．曲线C上任意点M的坐标（X。，y。）都是方程f（x，y）一0的解；2．以方程／（l，y）＝0的任意解（11，川）为坐标的点M（11，yi）都在曲线C上．那么八x，y）一0就是曲线C的方程．但有时我们求出的方程虽然满足条件1，却不满足条件2．它存在这样的解（X”，y”），以（．T”，y“）为坐标的点并不在曲线C上．这时就必须对方程中变量的取…     

51 形如ax~2 b｜x｜ c=0的方程的解法

[主持人按：本期我们以格式塔心理学派的学习理论为指导编发了两将教学设计：一篇．作者写出了学生对一类问题的领悟──顿悟，直至建立起一个新完形、模式的全过程；另一篇，我们把教师的设计，配上了心理学家的一个动物实验与它的过程记录、解历，两相对照，教师们自可在联系联想中求得一些了解与领悟．我们的意图是通过这种做法，引导老师们学习研究教育心理学理论的兴趣．把专家的主要观点、说法，在一些设计中随机渗透，以此作为一块块铺路石，新一代年轻的老师们将有望在未来的年代里，田上理论与实践结合的研究新境界新天地．〕格式…     

谈相似形——中学数学笔谈之三

有一次和几位中学生在一起，我问起“π是什么？”有一人回答说π≈３．１４１６，显然答非所问；另一位回答说“是圆周率”．我又问“什么叫圆周率？”答道：“是圆的周长与直径之比．”我又问：“一个圆大，一个圆小，你怎么知道其周长与直径的比是相等的呢？”他们答不...     

再谈调和级数Sum from n=1 to ∞() 1/n发散性的证明

贵刊于87年第二期发表“这种证法对吗？请思考”的文章。并在期刊中给出答案，认为问题中的证明不对。为此，文［1］专门研究了不对的原因，并给出了问题的一种简易证明。本文假定级数收敛，导致成立的矛盾。本文给出了严格的证明，从而完整地解决了这个问题。为方便下文，给出如下结论：gi理1没有两个收敛级数：则级数（S；＋S；）十（S。＋S。）＋…＋（S。＋S。）十一也收敛，且和为S＋。引理2收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和。引理卫、引理2的证明见文［Zj第十一章第一节性质2、性质4。＿＿，。，、＿、＿，＿＿＿l，…     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

从对象与变换来理解初中数学内容

“这是什么”和“它怎么样”是每一门科学中的两个基本问题．数学中经常用定义来界定一个概念,以此告诉人们“这是什么”;也经常用定理来阐述一个规律,以此告诉人们“它怎么样”．不仅如此,数学是一门重视推理过程的学科,不只是呈现“是什么”和“怎么样”的结果,而常常是将这两个问题串起来,形成“→怎么样→是什么→又怎么样→又是什么→”的一个变化过程．在这个过程中,对象与变换是两个决定性的因素,它们确定了数学的具体内容．换句话说,数学所要解决的本质问题是数学对象在变换过程中的不变性．     

容易“碰壁”的高考题三例

在解题过程中,我们往往会出现这样的情形,以多种方法解题,越解越繁,结果“碰壁”,无功而返,我们会认为本题可能是错题或者解不出本题．下面解析考生容易“碰壁”的三道2012年高考题,给出对策和解题方法．     

举一反三能力的培养

原文刊登于1979年第5期PI．什么叫做“举一反三”？有关词典上这样解释：“从懂得一点，类推而知道其他许多事情”．在数学教学中，教师如能通过课堂教学和课后辅导，逐步培养学生思考问题、灵活运用所学知识，掌握举一反三的能力，无疑是十分有益的．要培养学生举一反三的能力，教师要下一番苦功夫，做法是多方面的．但教师在讲解有关范例、习题时，经常启发、诱导学生对问题进行推广、引伸或发展，使他们由懂得一个问题推广而熟悉一类问题，也不失为一种行之有效的好方法．以下举例说明．在解完这道题以后，我们可以引导学生把此题推广到…