半质环交换性的一点注记

Let R be a semi-prime ring, C be the center of R. Let F_i (x, y) (i = 1, 2) be a product of the m times x's and n times y's.In this paper following theorem is proved: (I ) implies (Ⅱ), where( Ⅰ )If f₁(x,y) -f₂(x,y) ∈C for every x,y in R, then R is commutative;(Ⅱ)If f₁ (x,y) + f₂(x, y) ∈C for every x,y in R, then R is commutative.Thus very short proves of some theorems of references[5], [8], [9] are be given.     

半素环的交换性条件

则 R 是交换环。本文对文献[1]和[2]的结果进行了推广。记[x,y]=xy-yx,x~(oy)=xy yx,Z~ 表示正整数集合。在1973年,R.Awtar 在[3]中证明了(?)x,y,z∈R,满足多项式恒等式[z,[xy,yx]]-0的半素环 R 是可交换环。1978年,M.A.Quadri 在[4]中又证明了:如果半素环 R 满足[z,xy°yx]=0,则 R 可交换。1980年,Y.Hirano 与 H.Tominaga 对此作了进一步的推广,在[1]中得到:     

半素环的一个交换性条件

本证明了以下定理：一个半素环是交换的当且仅当以下条件之一成立：(1)[x^my^n xy^nx,x]=0，(2)[x^sy^t yx^s,x]=0．其中x，y为R的任意元，m,n，s，t为正整数。     

半素环的一个交换性条件

设R是一个半素环,Z(R)的R的中心,本证明了：如果对任意：x,y∈Z(R),那么,R是一个交换环。     

关于超半素环和超半素根的注记

本文对文[1]中提出的一个公开问题给出解答。证明了超半素根与谢邦杰在[2]中所定义的近似诣零根是相等的。     

半素环的几个交换性条件

一个半素环 R是交换环当且仅当 R满足下列条件之一 :( ) (xmy) n+xmy∈ Z(R) ,对任意的 x ,y∈ R。( ) (xmy) n- yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。( ) (xmy) n+yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。其中 m,n是固定的正整数且 n >1     

关于双曲性的一点注记

双曲线性几乎等价于拟－Anosov这一令人惊奇的结果是在文献[1]中由Mane证明的,这里,我们给出这一结果一个较为简洁和直观的证明。     

关于绝对半素环和绝对半素根

本文了绝对半素环的概念，研究了绝对半素与与半素环及素环之间的关系，讨论了由全体绝对半素环类决定的上根－－绝对半半素根及其性质。     

A note on semiprime right Goldie rings

It is shown that a ring R is semiprime right Goldie if and only if R is right nonsingular and every nonsingular right R-module M has a direct decomposition M = I⊕N, where I is injective and N is a reduced module such that N does not contain any extending submodule of infinite Goldie dimension.     

A note on the commutativity of groups

In this article, we show that a group is abelian if and only if every two elements of the same order commute.     

Distributive semiprime rings

It is proved that a right distributive semiprime PI ringA is a left distributive ring and for each elementx ∈A there is a positive integern such thatx ⁿ A=Ax ⁿ . We describe both right distributive right Noetherian rings algebraic over the center of the ring and right distributive left Noetherian PI rings. We also characterize rings all of whose Pierce stalks are right chain right Artin rings. Translated fromMatematicheskie Zametki, Vol. 58, No. 5, pp. 736–761, November, 1995.