S_n=f(a_n)型数列通项的求法

在有关数列问题中 ,经常要求数列的通项 .许多同学对此类问题常感到困难 .特别是给出Ｓｎ 与ａｎ 的函数关系 ,即Ｓｎ=ｆ(ａｎ)型 ,其中Ｓｎ 表示数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,ａｎ 表示数列的第ｎ项 .此类题难就难在关系复杂 ,不便转化 .下面笔者以一道高考题为例谈一谈此类题的解题策略 .例题　 (1 994年高考试题 )设 {ａｎ}是正数组成的数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ,并对所有的自然数ｎ有ａｎ+22 =2Ｓｎ,求数列 {ａｎ}的通项公式 .策略之一　统一转化成ａｎ 的表达式 .依据ａｎ=Ｓ1Ｓｎ-Ｓｎ - 1　 ｎ =1(ｎ≥ 2 ) ,将Ｓｎ=ｆ(ａｎ)转化成只含有项…     

a_n={S_n-S_(n-1),n≥2,S_1,n=1的应用

设数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,则ａｎ 与Ｓｎ 间有 :ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ - 1 ,Ｓ1 ,ｎ≥ 2 ,ｎ=1.它是ａｎ 与Ｓｎ 之间相互转化的重要工具 ,应用它能较简洁地解出许多条件中含有Ｓｎ 的问题 .下面举例说明它的应用 .1　消去Ｓｎ,转化为ａｎ 来解例 1　设 {ａｎ}是正数组成的数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ.并且对所有自然数ｎ,ａｎ 与 2的等差中项等于Ｓｎ 与2的等比中项 .求数列 {ａｎ}的通项公式 .解　由题意有ａｎ 22 =2Ｓｎ (ｎ∈Ｎ ) ,整理得Ｓｎ=18(ａｎ 2 ) 2 ,由此得Ｓｎ 1 =18(ａｎ 1 2 ) 2 ,∴ａｎ 1=Ｓｎ 1 -Ｓｎ=18[(ａｎ 1 2 ) …     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

2002年高考压轴题的启示

近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1 =ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1,ｎ =1,2 ,3 ,…(1)当ａ1 =2时 ,求ａ2 ,ａ3,ａ4 ,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;(2 )当ａ1 ≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11+ａ1 + 11+ａ2 +… + 11+ａｎ≤ 12 .解析　这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考…     

高考专题复习系列讲座（2）——数列、极限和数学归纳法

近几年高考试题中，数列、极限和数学归纳法始终占有比较大的比重，2007年全国高考19套（37份）数学试卷中，涉及这部分内容的题目共70道（小题34道，大题36道），分值平均占卷面总分的12％左右，大大超过了课时所占比重（仅约8％）．小题重点考查等差数列、等比数列以及数列的极限，大题则突出对递推思想、归纳方法、运算能力和推理论证能力的考查，常考的知识点有：数列的概念，数列的表示方法，数列的通项公式，等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质，递推数列，数列极限的定义，两个重要极限，无穷递缩等比数列的各项和公式，数学归纳法．此外，函数方程思想、从一般到特殊的思想、归纳与转化思想、递推方法等数学思想方法也是命题者关注的热点．     

数列

本单元知识点及重要方法本单元知识点是数列的概念、数列的通项公式及递推公式 .重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式及其前ｎ项和公式 .利用数列的前几项归纳该数列的一个通项公式 ;根据数列的递推公式求出数列的前几项 ;运用等差数列与等比数列的通项公式、前ｎ项和公式 :①知三求二 ;②将其它数列转化为等差数列或等比数列求其通项与前ｎ项和 ;根据数列的通项ａｎ 与前ｎ项和Ｓｎ 的关系 :ａ1 =Ｓ1 且ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ- 1 (ｎ≥ 2 )解决数列有关问题 ;运用倒序相加、错位相减、裂项等技巧求数列的前ｎ项和 .练习选择题1　已知数列 1 …     

习题·问题·命题

习题　在数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ 1=3Ｓｎ(ｎ≥1) ,求证 :ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .这是高中数学 (试验修订本·必修 )第一册 (上 )Ｐ142第 5题 ,“通过一道题 ,就好象通过一道门户 ,把学生引入到一个完整的理论领域”(波利亚语 ) .我们先从它的解题思路上引入到一个发散思维的领域 .思路 1　从等比数列的定义入手 ,同时利用等式Ｓｎ=Ｓｎ -1 ａｎ.当ｎ≥ 2时 ,ａｎ 1ａｎ=3Ｓｎ3Ｓｎ -1=ＳｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 ａｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 3Ｓｎ -1Ｓｎ -1=4.故ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .思路 2　先把和式转化为通项 ,这时利用…     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

2002年高考压轴题探源及解析

20 0 2年高考数学 (理 )的压轴题是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1=ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1 ,ｎ =1 ,2 ,3,… .1 )当ａ1=2时 ,求ａ2 ,ａ3 ,ａ4,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;2 )当ａ1≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1 ,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11 +ａ1+ 11 +ａ2 +… + 11 +ａｎ≤12 .这是以数列和不等式知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道题 .1 )及 2 )之①不难解决 ,2 )之②难倒了不少考生 ,拉开了档次 .从试题制作的背景看 ,该题出自于高校老师之手 .从级数的观点看 ,2 )之②意指正项级数∑∞ｉ=111…     

2007年全国高考数学理科22题解法探究与错解剖析

<正>一、试题评价2007年全国数学(Ⅰ)试卷理科22题是一道主要考查数列有关问题的压轴题.数列问题一直是高中数学教学中的重点和难点问题,也是高考命题与考查的热点问题之一.高考中数列问题的考查主要集中在求通项公式和前n项和上,并往     

数列

1　本单元重、难点分析本单元的重点是理解数列的概念 ,能用映射、函数的观点看待数列 .掌握等差 (比 )数列的定义、通项公式、前n项和的公式 ,并能运用公式解决有关问题 ;理解等差 (比 )数列的性质 ,熟悉用等差 (比 )数列的性质求其前n项和的方法 .难点是等差 (比 )数列的性质及应用、数列前n项和公式的求法 .由于数列是特殊的函数 ,所以可以运用函数思想学习、研究数列 ,掌握将一个数列转化为等差 (比 )数列的方法 ,加强数列与相关问题的联系及综合运用 .通过对本章的研究性课题———分期付款问题的研究 ,了解数列在实际生活中的应用 .本…     

数列

1　重、难点分析数列在整个高中数学中 ,处于知识和方法的汇合点 .它紧邻函数 ,是深化函数概念的好素材 ,它又为后续内容的学习作了知识和方法上的铺垫 .在这一单元中 ,显性的知识包括三个概念 (数列和等差、等比数列 )、两种公式 (等差、等比数列的通项公式及前ｎ项和公式 )和一种关系 (ａｎ 和Ｓｎ 的关系 ) ,隐性的方法包括四种基本方法 (观察归纳、类比联想、倒序相加 ,错位相减 )和五种重要的数学思想 (函数思想、方程思想、分类讨论的思想、转化的思想和数形结合的思想 ) .纵观教材 ,以上这两条线互相交错 ,构筑成数列单元的独特体系 …     

数列通项公式的求法

数列是一种以自然数 1,2 ,… ,ｎ作为自变量的函数 ,给出数列的方式常常有两种 ,一是由项与项数的关系给出的即通项公式法 ,二是由相邻项的关系给出的即递推公式法 .这两种方式都反映出了数列的结构特点和构成规律 .那么怎样由己知数列的递推公式来探求数列的通项公式呢 ?本文通过具体实例介绍几种常用的方法 .一、转化成等差等比数列此方法主要根据数列的递推关系式的特征 ,通过适当变形 ,构造出关于某个整体的等比或等差数列 ,求出该整体的通项后再求所求数列的通项 .例 1　已知数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =1,ａｎ =3ａｎ-1 + 1(ｎ =1,2 ,3,… ) …     

数列解题中常见错例评析

在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1　已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析　证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明　∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ…     

复合等差(比)数列的通项公式及其应用

我们看两类函数（１）｛ａｆ（ｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）（２）｛ｆ（ａｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）如果数列（１）、（２）是等差（比）数列,那么我们把它们称为复合等差（比）数列．于是,ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）＋（ｎ－１）ｄ或ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）ｑｎ－１．例１　数列｛ａｎ｝满足２Ｓ２ｎ＝２ａｎＳｎ－ａｎ（ｎ≥２）,ａ１＝２,求ａｎ及Ｓｎ．解　将ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥１）代入等式,得　　　　２ＳｎＳｎ－１＝Ｓｎ－１－Ｓｎ．因为ａ１＝２≠０,故Ｓｎ≠０,上式可变为１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２,∴　数列｛１Ｓｎ…     

解答数列题常见的错误举例

数列是中学数学的重要内容之一 ,有关数列的习题形式多样 ,解法灵活 ,除要求学生有较高的能力之外 ,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识 ,否则常因概念不清而导致解题出错 ,现举例如下 .1　判别数列的类型不确切例 1　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1,试判断此数列是何种特殊数列 ?错解 :ａ1=Ｓ1=ａ - 1,ａ2 =Ｓ2 -Ｓ1=(ａ2 - 1) -(ａ - 1) =ａ(ａ - 1) ,ａ3 =Ｓ3 -Ｓ2 =(ａ3 - 1) - (ａ2 -1) =ａ2 (ａ - 1) ,… ,ａｎ =Ｓｎ-Ｓｎ -1=(ａｎ- 1) -(ａｎ-1- 1) =ａｎ -1(ａ - 1) .容易验证每一项与前一项之比都等于同一常数ａ ,…     

处理数列中一类常见问题的三种思路

设 {ａｎ} ,{ｂｎ}是两数列 ,记 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,{ｂｎ}的前ｎ项和为Ｔｎ,则在数列中 ,常出现“已知 ＳｎＴｎ =ｆ (ｎ )或已知ＳｍＳｎ =ｆ(ｍ)ｇ(ｎ) ,求…”一类的问题 .这类问题一般都涉及到数列中的一些重要知识 ,例如 ,涉及到前ｎ项和、通项、前ｎ项和及通项之间的关系、比例性质等基本知识 .因此 ,研究这类问题对于进一步掌握数列中的基础知识和基本方法有着重要的意义 .本文将给出处理这类问题的三种最常见的思路 .1　以特殊值代入由于已知数列中的两个前ｎ项和的比是对任意的正整数ｎ(或任意的正整数ｍ ,ｎ)而言的 ,因此将…     

异曲同工——98年一道高考试题的另解及一道竞赛题

今年高考文科和理科的最后一道题可以采用构造数列,从而用放缩法来求解．文科题：已知数列｛ｂｎ｝的是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１００．（Ⅰ）求数列｛ｂｎ｝的通项ｂｎ;（Ⅱ）设数列｛ａｎ｝的通项ａｎ＝ｌｇ（１＋１ｂｎ）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ...     

一类数列通项公式的求解策略

<正>在高中阶段,我们主要学习了等差数列与等比数列,他们是其它数列问题的出发点与归宿点.而首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量.只要能够求出等差(比)数列的首项与公差(比),就能求出等差(比)数列的通项公式,而常规数列的中心问题就是围绕求解其通项公式展开的.数列通项公式的问题很多,下面我们主要     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...