圆锥曲线中一个斜率之差为定值的性质

通过探究,得到椭圆中一个斜率之差为定值的性质,并将其类比到双曲线和抛物线中.     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

由一道考题引出圆锥曲线的一组斜率定值性质

由一道考题出发,探究得到了圆锥曲线的一组斜率定值性质.     

有心圆锥曲线与焦点准线相关的一个定值性质

性质1已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,点O是椭圆的中心,点F是椭圆的一个焦点,M是相应于焦点F的准线l上的任一点,过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,则｜ON｜=a．     

谈谈圆锥曲线的几个定值

圆锥曲线有许多丰富、有趣的性质 ,是高中各类考试考查的重点内容 ,本文对其中的几个定值问题加以总结 .1　焦点弦性质圆锥曲线过焦点的弦被焦点分成长为ｍ ,ｎ的两部分 ,则 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程ρ= ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.可设ｍ =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,ｎ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓ(θ+π)所以 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.2　定点弦性质抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的动弦ＡＢ恒过定点Ｍ(2ｐ,0 )的充要条件是ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1 .证明　充分性 .若ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1设弦ＯＡ的方程为ｙ=ｋｘ,①则弦ＯＢ的方程为ｙ=-1ｋｘ ,②由抛物线方程…     

圆锥曲线的一组定值

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个有趣性质，笔者经过探究，发现该性质可以推广．     

圆锥曲线顶点定值子弦的性质

1顶点定值子弦的含义设点P是某圆锥曲线的一个顶点,PA,PB是该曲线过顶点P的两条弦,当直线PA,PB的斜率的积为定值λ时,称线段AB为该曲线顶点P的关于定值λ的斜率等积子弦;当直线PA,PB的斜率     

圆锥曲线的又一个统一性质

文【1】给出圆锥曲线与通径有关的一个统一性质,读后颇受启发.本文通过探究,又得到一个统一性质,兹介绍如下.     

圆锥曲线的一类定值问题

荆州市 1 999届高中毕业班质量检查 (Ⅲ )的理科压轴题是这样的一道解析几何题 :已知抛物线方程为ｘ2 =- 2 (ｙ -ｈ) ,ｐ(2 ,4)在抛物线上 ,Ｍ ,Ｎ在ｘ轴上 ,ＰＭ交抛物线于Ａ ,ＮＰ的延长线交抛物线于Ｂ ,△ＰＭＮ中 ,｜ＰＭ｜ =｜ＰＮ｜ ,设Ｍ的坐标为 (ａ ,0 ) ,(1 )求抛物线方程 ,并用含ａ的式子表示直线ＰＭ的斜率 ;(2 )求直线ＡＢ的斜率 ;(3)求ＡＢ的纵截距大于零时 ,△ＰＡＢ面积的最大值 .本题中第 (2 )问所得结果是ＫＡＢ =2 .实际上ＫＡＢ 仅与点Ｐ(2 ,4)的坐标有关 ,而与点Ｍ、Ｎ的位置无关 .一般地有以下命题 .命题 1　已知抛物…     

与圆锥曲线准点有关的一个统一性质

笔者通过研究,发现与圆锥曲线准点（准线与对称轴的交点）有关的一个统一性质,现介绍如下．     

圆锥曲线又一统一性质

在各种中学数学杂志上,经常看到同行对圆锥曲线的研究,发现了许多圆锥曲线的统一性质．教学之余,笔者也发现了圆锥曲线一个统一性质,现介绍如下：     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

椭圆、双曲线的一个定值性质及极端情形

在对圆锥曲线的研究中,笔者偶得关于椭圆、双曲线的如下一个涉及焦点、中心的定值性质.     

圆锥曲线的一个有趣性质

笔者最近探得了圆锥曲线的一个有趣性质，以椭圆为例介绍如下．     

圆锥曲线交点弦的一个定值问题

最近有幸拜读文[1],发现其中所选几道例题在圆锥曲线中具有推广价值,并且其中-有些研究成果已见诸报刊杂志。笔者就其中例1所做的一些研究进行了思考．     

圆锥曲线一个几何性质的补充

本刊文 [1 ]将文 [2 ]的关于抛物线的一个几何性质推广到了椭圆及双曲线中 ,几个结论综合起来是与圆锥曲线对称轴有关的一个性质 .但文[1 ]中所述的性质只涉及到曲线焦点所在的对称轴 ,而遗漏了另一对称轴的情形 .另外 ,这个性质对圆也是成立的 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再给出以下三个结论 .定理 1　设Ａ是以Ｏ为圆心、Ｒ为半径的圆内异于Ｏ的任意一点 ,Ｂ是ＯＡ延长线上的一点 ,且｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜=Ｒ2 ,(1 )若过Ａ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＡＢ+∠…     

圆锥曲线一个性质的简证

惠润科老师在文[1]中给出圆锥曲线的如下性质:过圆锥曲线焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点,且F分AB所成比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.原证明采用传统解析几何的方法,但证明过程较繁琐.笔者利用圆锥曲线的第二定义,并采用数形结合的方法,给出该性质的一个简证.证明以椭圆为例,如图1,AD,BC为准线的垂线,BE垂直AD,F分AB所成比为λ(λ>0),设BF=x,AF=λx(x>0).由圆锥曲线第二定义:BBFC=e BC=1ex,同理AD=eλx,(1)λ>1时,AD>BC,AE=AD-BC,图1图2由图1得cos2α=sin2∠ABE=AABE2=ADA-BBC2=λ-1ex2(…     

对圆锥曲线一个统一性质的修正

文[1]在对椭圆的一个性质进行详细研讨后,给出了一个圆锥曲线的统一性质——推广2,现摘抄如下： 推广2若点C是圆锥曲线焦点弦一端点与x轴上一定点P的连线与相应准线的交点,则焦点弦的另一个端点与点C的连线必过x轴上的定点Q,该定点满足点P,焦点F,点Q到准线的距离的倒数成等差数列。     

圆锥曲线焦半径的一个性质

圆锥曲线已有很多优美的性质被发现,如何更加深入地研究、发现其性质,笔者的体会是借助电脑软件试验观察进行直觉感悟,然后计算证实、否定,或依据对圆锥曲线新的认识借助高观点通过类比、归纳的逻辑思维手段发现其性质。