一类二阶常系数非齐次微分方程的解法

我们学过对于二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py′+qy=f(x) 当f(x)具有eλxpm(x)或eλx[Pl(x)cosωx十Pn(x)sinωx]时的解法,其中较繁琐的是求其特解.由此,我想针对一类特定方程,提出一种可避开求特解这一过程的解法.     

用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解

一、引子线性非齐次方程的通解等于相应的齐次方程的通解加上自身的一个特解。对于二阶常系数非齐次线性方程y″+py′+qy =f ( x) ( 1 )因其相应的齐次方程 y″+py′+qy=0的通解已解决 ,这样方程 ( 1 )的特解的求得 ,就成为 ( 1 )通解求得的关键。针对 ( 1 )中 f( x)是某些特殊类型的函数 ,特别是 p( x) ,p( x) eλx,[p1( x) cosωx+p2 ( x) sinωx]eλx,(其中 p( x) ,p1( x)和 p2 ( x)为多项式 )时 ,一般教科书均按待定系数法来求得 ( 1 )的特解。当然 ,待定系数法有其方程式化的特点 ,但计算量太大。本文用升阶法来求常系数非齐次线性方程…     

求一类非齐次微分方程特解的待定算子法

给出了求一类非齐次微分方程L(D)y=f(x)特解的待定微分算子解法.即通过求与方程相关的待定微分算子R(D),从而得出非齐次微分方程的特解y=R(D)f(x).     

高阶常系数线性微分方程的一种积分形式特解

利用微分算子及n阶常系数非齐次线性微分方程的特征方程根与系数的关系给出其特解的逐次积分形式,并由此给出自由项f(x)=Pm(x)eλx(其中Pm(x)为m次多项式)时特解的简单递推公式.     

线性常系数非齐次微分方程的特解公式

用初等方法得到n阶线性常系数非齐次方程y(n)+a1y(n-1)+…+any=Pm(x)eλx特解y*的求解公式,使求y*的计算比较简单.     

课外练习

1.已知f(x)=Sin(ωx+(?))-3~(1/2cos(ωx+(?))(ω>0).(1)求f(x)的图像过原点的充要条件;(2)求f(x)为偶函数的一个充分不必要条件;(3)当f(x)是偶函数且在区间[-1,1]上的图像与x轴恰有10个交点时,求ω的取值范围.(江苏盐城师院数学系04(2)班学109信箱(224002)孙金兰)2.设定义域为一切实数的奇函数f(x)是减函数,且当0≤θ<π/2时,有f(cos2+2msinθ)+f(-2m-2)>0.求m的取值范围     

一类常系数非齐次微分方程的特解

针对非齐次自由项分别为(a0+a1x)cosλx,(a0+a1x)sinλr,和(ao+a1x)eλxi的三种二阶常系数非齐次线性微分方程,利用变换和升阶法推导出它们的特解表达式.     

方程y″+py′+qy=f(x)的一个积分形式特解

现行国内使用较广的高等数学教材中 ,求解二阶常系数线性微分方程 ,按照解的结构理论 ,需要求非齐方程的一个特解 ,那么怎样求特解呢 ?教材中仅对 f( x)为多项式、三角函数 ( sinβx或cosβx)、指数函数 eλx及它们的乘积等几种情况分别作了讨论 ,得出特解具有的形式特征 ,在实际求解中再用待定常数法解决之。这种处理方法仅解决了一些特殊类型 ,在理论上有很大的局限性 ,如后文例 3给出的方程并未在其讨论之列 ;另一方面 ,各种情况的结论冗长 ,推导过程复杂。现介绍用特解公式教学 ,学生易学易懂 ,便于记忆 ,收到了较好的教学效果。现将其…     

一类二阶微分方程求特解的简便方法

本文对二阶常系数非齐次线性微分方程（1）中f（x）=e^lxpm（x）及f（x）=e^λx[PL（x）coswx＋Pn（x）sinwx]两种类型求特解的方法进行了简化．     

用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程

众所周知 ,对于常系数高阶非齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=f( x) , ( 1)只要求出与 ( 1)相应的齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=0 ( 2 )的特征方程λn+ a1 λn-1 +… + an-1 λ+ an=0 ( 3)的特征根 λ1 ,λ2 ,… ,λs,它们的重数分别为 n1 ,n2 ,… ,ns ∑ ni=n ,此时 ,齐次线性常微分方程 ( 2 )的一个基本解组为eλ1x,xeλ1x,… ,xn1-1 eλ1x;… ;eλsx,xeλsx ,… ,xns-1 eλsx ,( 4)并且再求出非齐次线性常微分方程 ( 1)的一个特解 ,则我们就能求出非齐次方程 ( 1)的通解 .有许多方…     

y″ py′ qy=e~(λx)[P_l(x) cosωx P_n(x)sinωx]特解的推导和求法

对二阶常系数非齐次线性微分方程（其中p，q，λ，ω是实数，ω≠0；Pl（x），Pn（x）分别是l，n次实多项式），求通解的关键在于找到它的一个持解，一般高等数学教材都利用欧拉公式把恒等变形为然后根据y″＋py′＋qy＝e~(λx)Pm（x）型方程的特解推得方程（）的待解形式为这种变未知为已知间接求解的方法思路清晰，推导简便，但它涉及面较广，中；司转换较多，最终求特解时运算复杂。为了从另一方面启发思维，同时避开这些难点，下面介绍直接推导方程（1）的待解形式的方法，它直观明了，易于接受，又大大简化了求持解的运算。观察方程…     

求Riccati方程特解的一种解法

法国数学家刘维尔在1841年曾证明了形式上很简单的Ricati方程 擎一r(x),,+,(x),+,(二)(1) 心忿(l(x)今0)一般无初等解法.但若有办法找到(万的一个特解夕,则经变换梦=z+夕后可化为伯努里方程,因而是可解的.所以找Riccati方程的特解成为解这类方程的关键问题.文〔习对。阶线性齐次方程给出一种求特解的方法,本文一方面把文〔l〕所提供的方法应用到方程(l)上,另一方面得到了一些结果(见命题3). 命.1.若.(‘)是二阶线性齐次方程 /r(I)上.‘,、二,二;‘,、;‘,、.,一n‘,、 .”一fZ二今甚手+g(x)。,+f(x)h(x)。=o(2) 、l(才)”、一‘一’‘、‘…     

Littlewood—Paley算子及Marcinkiewicz积分在Campanato空间ε~(a,p)上的有界性(英文)

我们证明了下述结果:若f∈ε~(a,p),则适当限制参数值时,有g(f)(x)(S(f)(x),g_λ~*(f)(x),μ(f)(x))<∞a.e.,或者g(f)(x)(S(f)(x),g_λ~*(f)(x),μ(f)(x))<∞a.e.;并且在前者成立时,有g(f)(S(f),g_λ~*(f),μ(f)∈ε~(a,p),以及,其中C为不依赖于f的常数.     

THE BEST APPROXIMATION CONSTANT FOR THE JACKSON''''S TYPE OPERATOR J_(n,3) (f;x)

In this paper we obtain the best approximation constant of function f(x)(∈C_(2π))by theJackson's type operator J_(π3)(f;x),i.e.‖J_(n,3)(f,x)-f(x)‖_c≤(4-6/π)ω(f,1/n),‖J_(n,3)(f,x)-f(x)‖_c≤(8-17/π)ω_2(f,1/n)     

错在哪里?

问题　已知 ,{an}是递增数列 ,且对任意n∈N+ ,都有an=n2 +λn恒成立 ,则实数λ的取值范围是 (　　 )(A) (- 7/ 2 ,+∞ ) .　　　　 (B) (0 ,+∞ ) .(C) (- 2 ,+∞ ) . (D) (- 3,+∞ ) .解法 1　当λ >0时 ,f(x) =x2 +λx在区间(-λ/ 2 ,+∞ )上是递增函数 ,故在其子区间 [1,+∞ )上也是递增的 .于是满足关系式an=f(n)的数列 {an}是递增数列 ,选 (B) .解法 2　因为an=n2 +λn是函数 f(x) =x2 +λx当x∈N+ 时的特殊取值 ,而 f′(x) =2x +λ ,欲使x∈N+ 时f′(x) >0恒成立 ,只须λ >- 2x恒成立 ,而x∈N+ ,所以 - 2x≤ - 2 ,故只须λ >- 2 …     

一类Klein-Gordon-Maxwell方程无穷多解的存在性

主要研究下面含有参数且带有凹凸非线性项的Klein-Gordon-Maxwell方程无穷多解的存在性问题:{-△u+V(x)u-(2ω+φ)φu=λa(x)f(x,u)+μb(x)g(x,u),在R~3,△φ=(ω+φ)u~2,在R~3.(*)其中λ,μ是参数,ω是一个常数,且ω0.u,φ:R~3→R,V:R~3→R.在对V,a,b和f,g的适当假设下,运用喷泉定理和对偶的喷泉定理得到以上系统(*)的无穷多正能量解和负能量解.     

微分方程解题一例

我们来看一个简单的问题 :一个函数的 n阶导数等于其自身 ,求该函数。如果用 y=f( x)表示未知的函数 ,问题转化为解微分方程y( n) =y ( 1 )　　 n=1时 ,方程为 y′=y,一个特解为 y1=ex。n=2时 ,方程为 y″=y,两个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x。n=3时 ,方程为 y =y,特征方程为 λ3=1 ,λ=1 ,-12 ± i 32 ,三个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x2 cos 32 x,y3=e- x2 sin 32 x。n=4时 ,方程为 y( 4) =y,特征方程为λ4 =1 ,λ=± 1 ,± i,四个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x,y3=cosx,y4 =sinx。n=5时 ,方程为 y( 5) =y,特征方程为 λ5=1 ,…     

关于Bernstein-Kantorovich算子的Steckin-Marchaud型不等式

§1. Introduction For the Bernstein PolynomialsBn(f,x)=∑nk=0nkxk(1-x)n-ffkn,(1.1)Ditzian［1］ proved a pointwise approximation:Bn(f,x)-f(x)≤Cω2φλf,φ1-λ(x)n, 0≤λ≤1, φ(x)=x(1-x),(1.2)which unified the classical estimate for λ=0 and the norm estimate for λ=1. As the inverse result, Erich Van Wickeren［2］ proved:ω2α(f,n-1/2)≤Mαn-1∑nk=1Bkf-fα.But, this is only a norm estimate (with ω2φ(f,t)), not inclusive of the classical estimate (with ω2(f,t)). For f∈C［0,1］, the …     

关于追赶法的一个注

考虑常系数二阶常微分方程的两点边值问题: y″ 2ω~2y=f(x),y(0)=α,y(1)=β.(1)这个方程的通解是y=C_1sin2~(1/2)ωx C_2cos2~(1/2)ωx y_p,其中y_p是(1)的特解.把区间[0,1]等分成M份,结点记为1,2,…,M 1,间距记为△x.用普通的二阶差分     

求一类二阶常系数非齐次线性微方程的一个特解的一种简易方法

本文就求常见的常系数线性微分方程y″ py′ qy=Ae~(λx)(其中为A常数)的一个特解给出一种简易方法,并通过具体例子说明其用法.