一道不等式的证明与推广

题目 已知a〉0，b〉0，c〉0，a＋b＋c=1，证明：√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1≤3√2     

一个恒成立问题的正误辨析

1．提出问题 例题 已知不等式｜a＋2x｜〉x-1,对x∈[0,2]恒成立,求a的取值范围。 解法一 原不等式化为a-2x〉x-1或a-2x〈1-x,即a〉3x-1或a〈1＋32。     

一道高考试题的探究与推广

题目 （2009年北京高考卷19题）已知双曲线C2 x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的离心率为√3,右准线方程为x=√3/3.     

超临界Henon方程解的渐近行为

研究了下列Henon方程解的渐近性态：-△u=｜x｜^αu^p-1,u〉0,x∈B1（0）∪→R（n≥3）,u=0,x∈δB1（0）．这里α〉0,p从左边趋近于p（α）=2（n＋α）/n-1〉2n/n-2（n≥3）．     

求算术平方根的一种新方法

一、发现 本方法依据这样一个事实：绝对值小于1的任意实数自乘后小于自身,即：｜a｜〈1,则：1〉｜a｜〉｜a｜^2〉｜a｜^3〉…〉｜a｜^n,用数学语言来描述就是：limn→∞an^=0．     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

2007年高考天津卷（理）22题的简解及拓广

1．问题的简解 2007年全国高考天津卷（理）22题： 设椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1、F2．A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为1/3｜OF1｜．     

两道解析几何竞赛题的推广

试题1（2007年辽宁省沈阳市数学竞赛试题）椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的左,右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点．已知PF1,PF2的最大值为3,最小值为2．     

数列不等式的证法探讨

已知an=3^n/3^n＋2,n=1,2,…,求证：a1＋a2＋…＋an〉n^2/n＋1.     

一道自主招生试题的加强及推广的统一

（2010年浙江大学自主招生试题）有小于1的正数：x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1．求证：1/x1-x2^3＋1/x2-x2^3＋…＋1/xn-xn^3〉4．     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

一道竞赛题的证法探究与引申

题目（2008年厦门一中竞赛题）正数a,b,c满足a2＋b2＋c2=1,求证：1-a2（1/2）＋1-b2（1/2）＋1-c2（1/2）〉3-a-b-c1文[1]给出的证法是：由条件知a∈（0,1）,则2a1-a2（1/2）〉0,所以1-a2（1/2）＋a=（1-a2（1/2）＋a（1/2））2     

一个不等式的几何证法及推广引申

已知a〉1/3，b〉1/3，ab=2/9，求证a＋b〈1，文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明此不等式，文[3]对它进行了推广，文[4]对文[3]的推广进行了改进并提出了一个“孪生”不等式．本文首先给出此不等式的一个几何证法，然后利用这一证法对此不等式进行推广引申．     

也谈椭圆的内接三角形的一个性质

文[1]证明了椭圆的内接三角形的一个性质：如果椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的内接△ABC的重心与椭圆中心重合,那么△ABC的面积是定价3√3/4ab,但在注中指出逆命题不成立,这是错误的．其实,其逆命题是成立的,因此有下面的命题成立：     

巧用函数图像共点性结论

先简介幂、指、对等函数图像共点性结论如下：（1）幂函数y=x^n（x〉0,n∈Q）图像都通过点（1,1）;（2）指数函数y=a^x（a〉1,a≠1）图像都通过点（0,1）;（3）对数函数y=logax（a〉0,a≠1,x〉0）图像都通过点（1,0）．     

探究一道高考题的幕后知识

湖北卷（理）22题：已知不等式1/2＋1/3＋…＋1/n〉1/2[log2 n],其中n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2 n的最大整数，设数列｜an｜的各项为正，且满足：a1=b（b〉0）,an≤nan-1/n＋an-1,n=2,3,4…，     

从一道自主招生考试试题看能力考查

华中师范大学2010年自主招生考试数学试题的压轴题是：已知当a〉1时,函数y=x^a（a〉0）的图像如图1所示． （i）设a〉1,试用y=x^a（a〉0）的图像说明,当x1〉0,x2〉0时,不等式 （x1＋x2/x）^a≤x1^a＋x2^a/2①成立．     

两道高考姊妹题的巧解

在2010年高考四川卷中,有两道关于多元函数最值的姊妹题,本文介绍这两道题的巧解． 题1（四川卷文科11题）设a〉b〉0,则a^2＋1/ab＋1/a（a-b）的最小值是 （A）1．（B）2．（C）3．（D）4．     

关于广义Ramanujan-Nagell方程的一个猜想

设D=3a^2＋1，P=4a^2＋1是奇素数，其中a是正整数．本文证明了：当a〉6．10^18时，方程x^2＋D^m=P^n恰有2组正整数解（x，m，n）=（a，1，1）和（8a^3＋3a，1，3）．