Duffing系统在双参数平面上的动力学特性分析

将单参数最大Lyapunov指数的计算推广到双参数平面上,数值计算Duffing系统在双参数平面上的最大Lyapunov指数,得到系统在参数平面上周期运动、混沌运动、各种分岔曲线的参数区域;结合系统单参数分岔图、相图、庞加莱截面图讨论了系统在参数平面上的分岔混沌过程以及阻尼系数对系统双参数特性的影响。结果表明:在双参数平面上系统出现了周期跳跃、周期倍化分岔、叉式分岔等复杂的分岔曲线,而且这些分岔曲线随阻尼系数的增加不断发生着复杂变化;得到系统在以往单参数分岔过程中很少出现的分岔曲线相交、嵌套、演变等特殊现象;阻尼系数对系统双参数耦合动力学特性有重要的影响。本文对工程中其它多参数系统的参数耦合特性的研究具有一定的参考价值。     

Duffing系统随机分岔的全局分析

应用广义胞映射方法研究了在谐和与随机噪声联合作用下的Dnmng系统的随机分岔现象．对于随机Dnmng系统，以吸引子形态的突然变化，描述一类随机分岔现象．数值结果表明，随着随机激励强度的逐渐增大，当随机激励强度通过临界值时，随机系统的吸引子与其吸引域边界(吸引域)上的鞍碰撞，发生分岔现象．比较结果表明，在同样的参数区域内，Lyapunov指数均为负值，也就是说，在Lyapunov指数意义下，无法发现这种随机分岔现象．     

Duffing-van der Pol系统的随机分岔

应用广义胞映射图论方法(GCMD)研究了在谐和激励与随机噪声共同作用下的Duffing-van der Pol系统的随机分岔现象. 系统参数选择在多个吸引子与混沌鞍共存的范围内. 研究发现, 随着随机激励强度的增大,该系统存在两种分岔现象: 一种为随机吸引子与吸引域边界上的鞍碰撞, 此时随机吸引子突然消失; 另一种为随机吸引子与吸引域内部的鞍碰撞, 此时随机吸引子突然增大. 研究证实, 当随机激励强度达到某一临界值时, 该系统还会发生D-分岔(基于Lyapunov指数符号的改变而定义), 此类分岔点不同于上述基于系统拓扑性质改变所得的分岔点.     

有界随机噪声激励下碰撞系统的最大Lyapunov指数

为了研究单自由度线性单边碰撞系统在有界随机噪声参数激励下的最大 Lyapunov 指数和稳定性问题,用 Zhuravlev 变换将碰撞系统转化为连续的非碰撞系统,然后用随机平均法得到了关于慢变量的随机微分方程。在没有随机扰动的情形下,给出了系统最大Lyapunov指数的值;在有随机扰动的情形下,通过求解FPK方程得到了系统的不变测度和最大Lyapunov指数的解析表达式。研究结果表明：随着系统阻尼项、有界随机噪声带宽、碰撞恢复系数的减少和有界随机噪声振幅的增大,最大Lyapunov指数增加;当随机激励的中心频率等于系统固有频率的两倍时,系统的Lyapunov指数达到最大,从而使系统变得更不稳定。根据系统的Lyapunov指数得到了系统稳定的充分必要条件,即当Lyapunov指数大于零时系统几乎必然不稳定,而当Lyapunov指数小于零时系统几乎必然稳定,Lyapunov指数等于零为系统的稳定性分叉点,并讨论了相应的稳定性分叉问题。     

一类三维随机动力系统的最大Lyapunov指数

基于一维扩散过程的奇异边界理论,使用摄动方法研究了白噪声参激的一类余维二分岔系统的最大Lyapunov指数渐近表达式和数值解,主要讨论了一维相扩散过程同时存在两类奇异边界以及FPK方程存在平稳解的一般性条件. 通过对参激噪声作用项系数矩阵的分析,给出了不变测度的解析解及其相应的Monte Carlo数值仿真结果,并导出了一维相扩散过程P分岔点的确定方法. 对于一类特殊情形,给出了最大Lyapunov指数的渐近表达式;对于参激噪声作用项系数矩阵的一般情形,则给出了系统最大Lyapunov指数的数值结果.      

四自由度非线性系统的随机分岔混沌特性研究

以四自由度迟滞非线性随机振动模型为研究对象,以速度和位移立方的模型来模拟振动系统的迟滞非线性力,并以Monte Carlo法模拟随机位移激励,对迟滞非线性随机系统的动力学特性进行分析.通过系统的Poincare截面、分岔图及最大Lyapunov指数分析了系统迟滞非线性力各参数对系统混沌状态的影响.研究表明,非线性刚度系数对振动系统混沌状态的影响较小,线性阻尼项和线性刚度项次之,而非线性阻尼项的影响最为明显.不仅证明了非线性振动系统随机混沌振动现象的存在,更重要的是可以为非线性振动系统参数的合理取值提供理论依据.     

宽带噪声作用下黏弹性板的矩Lyapunov指数

主要研究了在超音速流中受宽带噪声作用的黏弹性板随机振动系统的矩Lyapunov指数.首先, 采用vonKarman板弯理论, 活塞理论以及Galerkin近似法建立了两个自由度耦合的系统运动的随机微分方程. 其次, 应用随机平均法将四维系统降为二维系统. 接着, 对系统采用极坐标变换,通过Girsanov定理和Feynmann-Kac公式得到后向微分算子. 通过对特征函数进行正交Fourier余弦级数展开得到系统矩Lyapunov指数的近似解析式. 并通过MonteCarle仿真得到系统矩Lyapunov指数的数值解验证了近似解析式的可信性. 最后研究了系统参数、气动力参数以及随机噪声谱密度对黏弹性板稳定性的影响.      

双状态切换下BVP振子的复杂行为分析

非线性切换系统具有广泛的工程背景,而传统的非线性理论不能直接用来解决其中的问题,因而成为当前国内外热点和前沿课题之一. 目前相关工作大都是围绕固定时间或单状态切换开展的,而实际工程系统大都属于多状态切换问题,同时多状态切换涉及到更为丰富的动力学行为. 本文基于两广义BVP 振子,通过引入双向切换开关,构建了双状态切换下的非线性动力学模型,进而研究状态切换导致的各种运动模式及其相应的产生机制. 应用非光滑系统的Poincaré映射理论,推导了双状态切换下的Lyapunov 指数的计算公式,结合子系统的分岔分析,得到了切换系统随分岔参数变化的动力学演化过程及其相应的最大Lyapunov 指数的变化情况. 得到了双状态切换条件下系统存在着各种形式的振荡行为,分析了诸如周期突变等现象及通往混沌的倍周期分岔道路,揭示了不同运动模式的产生机制及倍周期序列的本质. 与固定时间切换和单状态切换系统不同,双临界状态切换系统存在着更为丰富的非线性现象,其主要原因在于双状态切换会产生更多的切换点,且切换点的位置更加多变. 同时切换系统的倍周期分岔序列与光滑系统中的倍周期分岔序列不同,切换系统的倍周期分岔序列只对应于切换点数目的成倍增加,而其相应的周期一般不对应于严格的周期倍化过程.      

Bautin系统的Lyapunov量复算法

Lyapunov量(及与之等价的焦点量)在平面向量场的定性理论和分岔理论中占有非常的地位对研究微分方程的稳定性有重要作用;它是判断原点是否为细焦点或中心的一种经典手段;也可以用来判断由退化Hopf分岔所产生的极限环个数,与著名的Hilbert第16问题有密切的关系.Lyapunov量复算法是得到焦点的一种好方法.本文主要研究Bautin系统的Lyapunov量复算法.借助于计算工具Maple数学软件,运用Lyapunov量复算法计算了这一系统的Lyapunov量,并证明了细焦点的阶数最高为3.本文的研究所具有的优点是采用有效简捷的算法,给出相关结果的新的证明.本文结果可用于该系统在原点的极限环个数的判定,对该系统的极限环分岔研究有重要的理论指导意义.     

三自由度齿轮系统的双参数分岔与全局特性研究

以三自由度齿轮系统为研究对象,通过构造参数平面内不同运动类型的边界线算法,得到了系统在参数平面内的分岔曲线。为了判断分岔曲线的分岔类型,构造了三自由度齿轮系统Poincaré映射的Jacobi矩阵及Floquet乘子算法。结合系统的分岔图、最大Lyapunov指数图(TLE)、相图、Poincaré映射图和Floquet理论,讨论了双参数平面上系统的分岔特性以及参数平面内系统动力学特性的演变,并利用胞映射法对系统随啮合频率变化下的全局动力学特性进行了研究。结果表明:系统在参数平面k-ξ33内存在倍化分岔曲线、鞍结分岔曲线、Hopf分岔曲线等;阻尼系数越大,综合误差越小,系统运动越稳定;鞍结分岔对系统的全局稳定性影响较大,而Hopf分岔对系统的全局稳定性影响较小。研究结果可为齿轮系统设计和参数选择提供理论依据,研究方法也适用于其它非线性系统的双参数分岔分析。