分析问题的能力与解题的进步——一道中考压轴题的教学设计

波利亚对“解题的进步”这个话题是相当重视的 .在他的名著《怎样解题》中有这样两小节 :“进步与成功”(又译“进展与成就”) ,“进展的标志”.他说 :“必须在解题中试求明了一般是什么造成了进步与成功的”.本应与各级考试的评分标准划定中紧密联系的“解题的进步”这一课题 ,在数学教育评价的研究中尚未引起足够的关注 ,是遗憾的 .受传统文化的影响 ,各级数学考试试题的“参考解答与评分标准”,总是清一色的只写一二个解答 ,然后分段划定一个“评分标准”就了事了 .我们不禁要问 :这样分段记分方式合理吗 ?科学吗 ?需要或有可能作改进吗 ?每一个分数点 ,是否都真实地反映了考生的“解题的进步”?大纲强调的“分析问题的能力”,为什么总是很少能在“评分标准”上反映出来 ?为什么不可以列一个能反映出考生已基本看清了解题思路的 (倒推 )分析的评分点 (即能写出这样的“分析”也给分 ) ?完全可以期望 ,评分点设置的改革 ,会对扼制不讲分析的“题海战术”产生振荡性的影响     

概率题审题中的疏忽

著名数学教育家波利亚云:"解题的成功,要靠正确思路的选择.要靠可以接近它的方向攻击堡垒".……     

构造常数列 妙解数学题

<正>波利亚曾说过:"解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒."因此我们解答数学问题关键在于掌握思考问题的方法,思维方法正确,问题就容易解决.常数数列是数列中的最特殊数列,是指一个数列的每一项都为一个相等的常数,也叫"常数列".在解题过程中我们利用条件可以构造出常数列,从而减少计算量,大大地提高解题速度,起到事半功倍作用.一、构造常数列巧求数列的通项公式     

从一道习题谈解题和变题

华罗庚先生曾说过:"学数学不做题目,等于入宝山而空返."可见,数学学习离不开"解题",而数学教师也离不开"研题".通过解题研究挖掘题目背后蕴藏的数学思想与方法,透过现象认识本质,这既是中学数学教师必备素养与能力,也是教学研究的重要组成部分.     

对学生解题中几种不良心理现象的剖析

学生解题的成功一方面源于扎实的知识、技能基础和灵活善于应变的思维能力,但过硬的心理素质也是不可忽视的重要因素.所以在数学高考要求中明确指出:"注重对学生个性品质的考查".从学生解题的大量实践活动中可以看出,他们解题操作行为的偏差致使解题失误或失败,固然可归因为知识、技能和思维方面的缺失,但我们决不能忽视非智慧、非技术方面,即不良心理因素所产生的影响.本文就学生在解题中的几种常见的不良心理现象进行必要的剖析,旨在找到形成这种不良心理现象的根源,并采取恰当的对策,以期使学生的智慧、技术和心理达到"三过硬",从根本上提高综合素质.     

例谈“结构分析法，形式统一法”在微积分问题解决中的应用

波利亚在其名著《怎样解题》中,对如何解题给出了一般性的解题思维程序:(1)理解题目;(2)拟定方案;(3)执行方案;(4)回顾,其中建立已有知识与未知量之间的联系,拟定解题方案是解题过程的关键,但是如何建立题目中未知量与已有知识联系,形成有效的解题思路和解题路径呢?本文提出并详细介绍了能有效沟通已有知识与当前题目,进而能有效制定具体解题路径的数学问题解决方法——"结构分析法,形式统一法".     

发挥解题后反思对培养学生思维品质的作用

数学知识的掌握和学生能力的培养很多情况下是通过解题训练来实现的,解题效率直接反映出学生知识掌握的程度,思维能力的高低,现实教学中,学生解题,只求数量,不重效益,未能"做一题、知一类、会一片",往往事倍功半,解题后反思是医治上述通病的一剂良方,实践证明:解题后反思是解题活动中不可缺少的一环,是"画龙点睛"的一笔,是提升思维能力的"催化剂",也是提高解题效益的有效途径,因此,解完题目并非大功告成,还应进行必要的反思,从中理解知识点的内涵、外延以及解题策略,从反思过程中汲取经验教训,巩固和扩大解题成果,提高解题效果,培养与提升思维能力.高中新课程标准强调,反思"有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断".……     

如何在解题过程中积累例子

数学大师陈省身教授曾经说过:"一个好的数学家与一个蹩脚的数学家,差别在于前者有很多具体的例子,后者则只有抽象的理论".这句话对一般的解题者来说也是正确的,可以这么说:一个好的解题者与一个蹩脚的解题者,差别在于前者有很多具体的例子,后者则只有抽象的公式和定理.……     

结合函数图象寻求解题的切入点

对函数图象与性质的考查永远是高考的重点和热点.有的问题的解题切入点是明确无误的,但有的问题的思维切入点比较"含蓄".2012年高考四川卷第16题:设a,b为正实数,现有下列命题:     

章节“过关”的创新之路

数学章节复习离不开解题,在解题教学中,教师进行创新"过关"设计,有助于学生加深对知识的理解,提高解题能力,享受解题的乐趣,从而提高章节复习效果. 1 根据具体情况选择恰当的过关教学准备 教师选择哪种教学方式,即让学生在哪种方式下学习,必须根据知识类型、学生基础与学习风格等来确定.为此,教师需要加强读、说、听、写过关训练,提升基本的数学能力,加强课堂学生参与度,特别是主动"建构".     

例谈解题时的思维转化

常言道"兵无常势,水无常形".许多同学面对千变万化的新题型,当感到思维受阻时,都能换一个角度去思考,这很好.因为,灵活运用转化的策略,及时调整解题思路,优化解题方案,可以使我们在解题时少一些"山穷水尽"的尴尬,多一些"柳暗花明"的喜悦.     

老问题 新变式

<正>在解题方面,波利亚堪称"高人".他认为,我们可以选择一道有意义又不太复杂的题目,去发掘它的各个方面,在解题过程中提高我们的才智和推理能力.这些见解启示我们,通过解题活动和反思过程,总结归纳解题方法,提炼图形的本质特征,概括思想方法,达到举一反三、触类旁通的效果,其中对问题进行变式练习是发掘题目价值的重要途径之一.下面我们通过对一道平面几何问题的变式探究,体会变中不变的性质.     

解析几何解题教学中学生选择能力的培养

<正>解析几何解题中经常涉及到选择参数,最常见有四种选择方式:选择斜率、点的坐标、线段的长度或者角度为参数.抓住题目的关键要素,选择适宜的参数,可以使解题的复杂程度降低,计算量减少,效率大大提高.而学生要获得这种选择能力,需要教师的引导,力求从"一题多解"中学会辨析好与不好的解法,把好的参数的选择与解题落实到教学中,通过"选得好"达到"做得好".1选择斜率参数还是选择点参数     

“中点型一线三等角”模型的探索及应用

<正>"处处留心皆学问",在数学解题过程中我们常常会遇到一些相似的题型,对这些常见的题型我们可以作深入地探究,归纳其通性通法,我们可称之为"数学解题模型".借助这些解题模型,我们往往就能抓住题目已知的要点,顺利突破解题难点,让解题变得游刃有余.本文笔者以对"中点型一线三等角"模型的探索为例,以飨读者.     

在解题中学数学

"在解题中学数学"这是数学家华罗庚的话.但他不是提倡搞"题海战术",而是告诉我们:虽然学好数学少不了要解题,但是要学好数学不能为解题而解题,而要在解题后不断归纳总结,对比分析,类比推广等.多做些解题后的工作,特别是做到题型相同、内容相似的题时,做完后不要轻易丢弃它,要对它们多做些分析,这样你可以从中学到很多东西.在此,不     

优化与生成——数学解题的价值取向

1 问题的提出 数学解题是数学学习与研究的基本活动.某种程度上说,数学学习与研究的过程就是解题的过程.数学家的解题往往是一个创造和发现的过程,作为学习的数学解题更多情况下是根据设计者预设目标进行的训练.通过训练,理解与探究数学的基本规律,使学习者学会像数学家那样"数学地思维".问题的设计或侧重已学知识的巩固,或关注学习者某方面能力的发展,通常表现为对数学结论的再发现过程.     

寻门而入 破门而出

<正>齐白石先生在教导自己的学生作画时,经常引用的一句话是:"寻门而入,破门而出".这句话用在学习绘画上是不难理解的.而这句话也是数学解题过程的一种写照.数学学科是以掌握数学知识为基础,以解决数学问题为途径,最终提高、养成数学能力.而"解题是一种实践性的技能",需要大量实践才能形成技能.解决问题是需要方法的,面对     

有“圆”千里来相会

<正>2021年全国各地的中考数学试卷出现了这样一类题:题干条件中明明没有提及任何与"圆"相关的字眼,但在解题过程中构造辅助圆往往可以化难为易,起到事半功倍的良好效果.我们把这样一类问题称之为"隐圆"问题.1 "隐圆"模型有"圆"千里来相会,"隐圆"问题的突破口就在于根据已知条件构造出解题所需的"辅助圆".有的"隐圆"问题形式虽然复杂,但基本都是在以下四种基本模型(如图1所示)的基础上变化而成的.     

"难题"是如何变"容易"的

如果有这样一则宣传"万能解题器"的广告:"高科成果,绝对有效.智能电子,解除烦恼.使用简便,头上一套.所有难题,一概报销.从速购买,限量营销".你相信吗?决不会有人相信!"子虚乌有,胡说八道,骗钱广告,谁都知道!"是的,不管是现在,还是将来,世界上永远也不可能发明和制造出所谓的"万能解题器"!数学题的解答,依靠的永远是勤奋加智慧!若说有"万能解题器",那只能是装载着扎实"双基"、具有过硬心理品质、坚韧不拔的意志和各种思想方法的人的大脑.     

例谈题目“提示”信息的有效利用

解题的一个重要环节是"审题",审题的目的就是希望从题目中提取有用的解题信息.一些创新性的试题,常在题干中设置了明显的"提示"信息,而对于解题者而言,如何利用好题目的这些"提示"信息,将是成功解题的关键.