对"椭圆和双曲线第二定义"教材处理的几点建议

人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3　点Ｍ(ｘ ,ｙ)与定点Ｆ(ｃ,ｏ)的距离和它到定直线Ｌ:ｘ =ａ2ｃ 的距离的比是常数ｃａ(ａ >ｃ>0 ) .求点Ｍ的轨迹 (图 2 -1 8) .解　设ｄ是点Ｍ到直线Ｌ的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合Ｐ =Ｍ ＭＦｄ =ｃａ ,由此得 (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2ａ2ｃ -ｘ=ｃａ 将上式化简 ,得 :(ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,设ａ2 -ｃ2 =ｂ2 (ｂ>0 ) ,就可化成ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…     

再谈椭圆,双曲线的切线与圆的关系

读了本刊１９９８年１２期沈志伟老师的文章《谈椭圆、双曲线的切线与圆的关系》,颇受启发．为行文方便,仍从高中《平面解析几何》课本第１１３页的例１谈起．题以原点为圆心,分别以ａ,ｂ（ａ＞ｂ）为半径作两个圆．点Ｂ是大圆半径ＯＡ与小圆的交点,过点Ａ作ＡＮ⊥ｘ...     

也谈椭圆,双曲线第二定义的教学

《数学通报》1998年第 10期“浅谈椭圆、双曲线第二定义的教学”一文 (以下称文〔1〕)对统编高中教材中有关椭圆、双曲线第二定义的处理提出了一些看法及改进的意见 ,这是一个有益的试验 .笔者在教学实践中对这个问题也作了探讨 ,现把个人对该内容的处理方法简述如下 ,仅供同行比较和参考 .以椭圆为例 ,笔者先引导学生从第一定义出发推导出焦半径的不含根号的表达式 ,然后从焦半径的这个表达式入手寻找准线 ,最后讲例题而引出椭圆的第二定义 .1　推导焦半径的表达式设椭圆 x2a2 y2b2 =1( a>b>0 )两个焦点分别为F1 ( -c,0 ) ,F2 ( c,0 ) ( …     

双曲线的第三种定义方法

[文1]、[文2]都用初等方法证明了函数y=(ax+c)+b/(x+d)(ab≠0,c,d∈R)的图象是双曲线. 为了证明这个方程表示双曲线,并立即求出它的两条渐近线,我们引进双曲线的第三种定义方法. 试求到两条相交定直线距离之积等于常数的     

圆、椭圆与双曲线之间的相关性

圆、椭圆与双曲线是高中平面解析几何研究的重要对象．众所周知,利用一个同胚映射可以将椭圆变换成圆,那么是否存在一个同胚映射将双曲线变换成圆呢？     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

有心圆锥曲线的一个定义及几个相关性质

我们称圆、椭圆和双曲线这三种具有对称中心的圆锥曲线为有心圆锥曲线．笔者受课本上两道轨迹问题的启示,进而引发联想,对其加以引伸推广,从而归纳出有心圆锥曲线的一种定义形式,并由此推导出椭圆、双曲线的几个有趣性质．兹介绍如下．一、问题的发现与提出《平面解析几何》全一册（必修）课本Ｐ７９习题六第１１题与Ｐ８９习题七第１６题分别是：１１题　“△ＡＢＣ的一边的两顶点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另两边的斜率的乘积是－４９,求顶点Ａ的轨迹．”１６题　“△ＡＢＣ的一边两个端点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另…     

椭圆、双曲线的“中心半径”公式及应用

在椭圆或双曲线中，我们把椭圆或双曲线上的点与焦点的距离称为焦半径；这里我们把椭圆或双曲线上的点与其中心的距离，称为“中心半径”。     

“渐近线”——双曲线的特殊成员

我们在初中阶段学过函数y=1/x的图象，知道它的图象是双曲线，但对它的一些性质知道得不多，通过学习解析几何之后，我们对它的了解可以算是有了一个比较完整的轮廓．双曲线与椭圆、抛物线有许多共同的性质，但也有独一无二的个性，其中最重要的是它具有其它曲线所不具有的“渐近线”这一特殊的成员，可以说渐近线是双曲线的“影子”，它始终陪伴双曲线的左右．我们在学习双曲线时，与椭圆、     

从统一方程看椭圆 抛物线和双曲线之间的联系

从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉（北京职工医学院１０００３６）众所周知，椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹，在通常的解析几何教材中，只是在极坐标下按这个定义给出统一方程，却没有再从方程出发而作...     

圆锥曲线统一定义课件的制作

《数学通讯》2 0 0 1年第 2 3期、2 0 0 2年第7期先后刊登了张爱明老师和杨德兵、余咏梅老师用《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学的文章 .《几何画板》和《平面解析几何教师版》都是人民教育电子音像出版社推出的制作数学课件的软件 .而在制作平面解析几何的课件时 ,《平面解析几何教师版》具有更强大的功能和优势 .本人在此介绍自己用此软件制作圆锥曲线统一定义课件的方法 ,与同行共同探讨 .如图 1,设M (x ,y)为圆锥曲线上任意一点 ,圆锥曲线统一定义用数学式子可表示为 :|MF|d =e ,0 1,曲…     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析重点 :1)椭圆的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质 (包括 :范围、长轴、短轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线 ) .2 )双曲线的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质(包括 :范围、实轴、虚轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线 ) ,等轴双曲线 .3)直线与椭圆或双曲线相交所成弦的中点轨迹问题 .4 )待定系数法、运动变化的思想 ,数形结合的思想的应用 .难点 :曲线方程的探求过程 ,利用定义解题 ,几何性质及应用 ,已知方程画曲线 ,讨论对称性和曲线中参数的范围 ,与渐近线有关的双曲线问题的讨论等 .典型的方法与…     

关于双曲线的一种方程

1　关于双曲线的一种方程设在平面直角坐标系中有两条相交直线l1 和l2 ,它们的方程分别是l1 :a1 x+b1 y+c1 =0 ,　l2 :a2 x+b2 y+c2 =0 .因为是相交直线 ,所以当然满足条件a1 b2 -a2 b1 ≠ 0 ( 1 )则凡以这两条相交直线作为渐近线的双曲线的方程总能写成(a1 x+b1 y+c1 ) (a2 x+b2 y+c2 ) =d ( 2 )其中d是任一非零常数 .反之 ,方程 ( 2 )当d≠ 0并且满足上述条件( 1 )时 ,就表示以l1 和l2 为渐近线的一条双曲线 .关于这一结论可以查阅高等学校的解析几何教材 ,比如吕林根、许子道等人编著的由高教出版社出版的《解析几何》[1 ] (第三版 ) .其…     

多媒体辅助下的双曲线定义教学——类比椭圆的双曲线定义教学片断案例及分析

双曲线的定义方式与椭圆非常相似,对它们的学习包含着生活语言及数学的文字语言、几何语言、符号语言的转换,多媒体的辅助能在类比椭圆学习双曲线和各种语言的转换中起到较好的作用．     

不容忽视的圆锥曲线的另类定义

圆锥曲线的定义。是我们了解圆锥曲线性质特征的一个重要窗口．同时．又是我们解决几何问题的一个有力工具．但是．在平时的学习中。除了几个基本的“显现”的定义被我们熟知外．另外还有一些“隐性”的定义常常被我们所忽视．从而给解题造成不必要的麻烦．其实．在课本上还有几个有用的定义值得我们重视与关注．先看以下几个问题．     

也谈过双曲线焦点的定长弦有几条

本刊2004年第2，4期“过双曲线焦点的定长弦有几条”一文中，楼老师谈得很细，也很具体，其实对任意的双曲线，我们只需弄清楚两条最短弦，问题就可解决了．     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题：题目 点P是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，b〉0）和圆C2：x^2＋y^2==a^2＋b^2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为____.     

这样的直线有几条？

过一个定点和双曲线只有一个公共点的直线有多少条 ?这个问题可分如下两类情况考虑 :第一类是经过这点且和双曲线相切的直线记为 (一 ) .第二类是经过这点且和两条渐近线中的一条平行的直线 ,记为 (二 ) .我们把定点在平面内的位置分为如下 5种情况 :1 )点在双曲线的内部 (含焦点的部分 ) ,记为① ;2 )点在双曲线上 ,记为② ;3)点在双曲线外部 (不含焦点的部分 ) ,但不在渐近线上 ,记为③ ;4 )点在渐近线上 ,但不在原点 ,记为④ ;5)点在原点 ,记为⑤ .本问题的答案可以由表 1给出 .表 1　过定点与双曲线只有一个公共点的条数(一 ) (二 )总计…