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文 [1 ]给出了等差数列的一个性质 :设 {an}是以 d为公差的等差数列 ,则有a1+ a2 +… + ann =am+ 1+ am+ 2 +… + an-mn - 2 m .本文运用类比的方法 ,得到等比数列的一个类似的性质 .性质 设 {an}是公比为 q( q>0 )的等比数列 ,则有( a1a2 … an) 1n =( am+ 1am+ 2 … an-m) 1n-2 m,其中 n >2 m.证明 当 n为奇数时 ,n- 2 m也为奇数 .( a1. a2 .… . an) 1n =( a1. a1q . a1q2 .… . a1qn-1) 1n =( an1. q1+ 2 + 3 +… + n-1) 1n, =( an1. qn( n-1)2 ) 1n =a1. qn-12 .( am+ 1. am+ 2 .… . an-m) 1n-2 m =( a1qm . a1qm+ 1.… . a… 相似文献
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案例 数列{an}满足a1+8/7a2+(8/7)2·a3+…+(8/7)n-1·an=n(n+1), (Ⅰ)求数列{an}的通项. 相似文献
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在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1 数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2 数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3 数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1 … 相似文献
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等差与等比数列不等式的互变 总被引:1,自引:0,他引:1
含有等差或等比数列若干项的不等式 ,为行文方便不妨叫做等差或等比数列不等式 .本文研究这两种不等式的互变 .为了叙述简便 ,本文规定数列 {an}是公差为d的等差数列 ,其前n项的和为Sn,数列 {bn}是公比为 q的等比数列 ,其前n项的积为Tn,m ,n ,k是互不相等的正自然数 .通过下面等差与等比数列互换表中的an 与bn 等的互换 ,能够实现这两种不等式的互变 ,但互换两种运算时 ,应注意它们的基本要求 . 引理 1 若mk =n2 ,则m +k >2n .证 m +k >2mk =2n2 =2n .引理 2 若m +k =2n ,则mk 相似文献
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和等差数列一样 ,等比数列也是高中代数中的基本问题 .等比数列包括项数n ,首项a1,通项an,公比 q和前n项和Sn 这五个基本元素 ,它们之间满足an=a1qn- 1和Sn=a1(1- qn)1- q 两个关系式 ,只要知道其中任意三个元素 ,便可以求出其它两个元素 .学习数列要注意培养熟练地求出其中任意一个元素的运算能力和把一个具体问题转化为数列问题的逻辑思维能力 .例 1 (1998年全国高中数学联赛试题 )各项均为实数的等比数列 {an}前n项之和为Sn,若S10 =10 ,S30 =70 ,则S4 0 为 ( )(A) 15 0 . (B) - 2 0 0 .(C) 15 0或 - 2 0 0 . (D) 4… 相似文献
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1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n 相似文献
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2010年3月襄樊市高三调研统一测试有这样一道题目:题1对于给定数列{cn},如果存在实数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是M类数列.(1)若an=2n,数列{an}是否为M类数列?若是,指出它对应的实常数p,q;若不是,请说明理由;(2)数列{an}满足a1=2,an+an+1=3.2n(n∈N*),若数列{an}是M类数列,求数列{an}的 相似文献
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设数列 {an}是等比数列 ,首项为a1 ,公比为 q ,由它的通项公式an=a1 qn - 1 ,容易得到 :(1)若 q >0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的各项都是正数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的各项都是负数 .(2 )若 q <0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的奇数项都是正数 ,偶数项都是负数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的奇数项都是负数 ,偶数项都是正数 .综上还可得到 :在等比数列 {an}中 ,不管公比 q是正数还是负数 ,它的奇数项和偶数项的符号分别相同 .这表明 ,等比数列各项的符号构成具有一定的规律 ,这对于正确地求解等比数列的有关问题具有一定的指导意义 .然而 ,许多同学在… 相似文献
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等差(比)数列前n项和的一个性质及应用 总被引:1,自引:0,他引:1
对于等差(比)数列{an},我们可得如下性质:定理1设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则Sm n=Sm Sn mnd(1)证在等差数列{an}中,am k=ak md(m,k∈N ).Sm n=a1 a2 a3 … am am 1 am 2 … am n=Sm (a1 md) (a2 md) … (an md)=Sm Sn mnd.定理2设等比数列{an}的公比为q,前n项的和 相似文献
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本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2 相似文献
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等差数列的等比累进和 总被引:1,自引:0,他引:1
设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2… 相似文献
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2000年高考数学卷(理科)第20题第1小题:已知数列{Cn},其中Cn=2n 3n,且数列{Cn 1-pCn}为等比数列,求常数p.此题的背景来源于这样一个简单的事实:对于数列{an},若{an 1-pan}是以q为公比的等比数列(p≠0,q≠0),且a2-pa1≠0,则{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.证明 ∵ {an 1-pan}是公比为q的等比数列,∴ an 1-pan=q(an-pan-1),an 1-pan=qan-pqan-1.移项重组得 an 1-qan=p(an-qan-1),所以数列{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.用这个简单的事实来解此高考题简洁明了,而且能深入问题的本质.∵ {Cn 1-pCn}为等比数列,设其公比为q(q≠0),∴… 相似文献