Pkn的均匀全染色

设G(V,E)是一个简单图,f是G的一个k-正常全染色,若f满足||Vi∪Ei|-|Vj∪Ej||≤1(i≠j),其中Vi∪Ei={v|f(v)=i}∪{e|f(e)=i},则称f为G的k-均匀全染色,简记为k-ETC.并称χeT(G)=min{k|G存在k-均匀全染色}为G的均匀全染色数.本文将通过很好的全染色方法得到χeT(Pkn)=5(n≥2k 1),并证明了对Pkn,[5]中猜想是正确的.     

图 P2×Cn的均匀邻强边色数

对图G(V,E),一正常边染色f若满足(1)对(V)uv∈E(G),f[u]≠f[v],其中f[u]={f(uv)|uv∈E};(2)对任意i≠j,有||E|-|Ej||≤1,其中Ei={e| e∈E(G)且f(e)=i}.则称f为G(V,E)的一k-均匀邻强边染色,简称k-EASC,并且称Xcas(G)=min{k|存在G(V,E)的一k-EASC为G(V,E)的均匀邻强边色数.本文得到了图P2×Cn的均匀邻强边色数.     

关于图Pκn的均匀染色

对简单图G=〈V,E〉及自然数k,令V(Gk)=V(G),E(Gk)=E(G)U{uv|d(u,v)=k},其中d(u,v)表示G中u,v的距离,称图Gk为G的k方图.本文讨论了路的k方图Pkn的均匀点染色、均匀边染色和均匀邻强边染色,利用图的色数的基本性质和构造染色函数的方法,得到相应的色数Xev(Pkn),Xec(Pkn),Xeas(Pkn).并证明猜想"若图G有m-EASC,则一定有m+1-EASC"对Pkn是正确的.     

P_n~2和P_n~(n-1)的均匀邻强边色数

对阶至少为3的简单连通图G的k-正常边染色法f,若对任意uv∈E(G)有C(u)≠C(v),Ei-Ej 1,i,j=1,2,…,k.其中C(u)={f(uv)uv∈E(G)},Ei={uv f(uv)=i,uv∈E(G)},则称f为G的一k-均匀邻强边染色,简称k-EASEC.并称χe′as(G)=min{k k-EASEC of G}为G的均匀邻强边色数.给出了图Pn2与Pnn-1的均匀邻强边色数.     

联图Fn∨Pm的邻点可区别全染色

设G(V,E)是阶数至少为2的简单连通图,k是正整数,V∪E到{1,2,3,…k}的映射f满足:对任意uv,uw∈E(G),u≠w,有f(uv)≠f(vw);对任意uv∈E(G),有f(u)≠f(v), f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv);那么称f为G的k-正常全染色,若f还满足对任意uv∈E(G),有G(u)≠C(v),其中C(u)={f(u)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}那么称f为G的k-邻点可区别的全染色(简记为k-AVDTC),称min{k|G有k-邻点可区别的全染色}为G的邻点可区别的全色数,记作Xat(G)．本文得到了联图Fn∨Pm的全色数．     

若干Mycielski图的邻点可区别E-全染色

设G(V,E)是简单连通图,k是正整数,若V∪到{1,2,3,…,k}的映射f满足对任意uv∈E(G),有f(U)≠f(v),f(u)≠f(uv)f(v)≠f(uv),且C(u)≠C(v),其中C(u):{f(u)}∪{f(uv)|uv∈E(G)}.那么称f为G的k-邻点可区别的E-全染色(简记为k-AVDETC),并称X_(at)~e(G)=min{k|G有k-邻点可区别的E-全染色}为G的邻点可区别的E-全色数.本文讨论了路、圈、扇、星、轮及完全图的Mycielski图的邻点可区别E-全染色,得到了该类图的邻点可区别的E-全色数.     

P2n和Pnn-1的均匀邻强边色数

对阶至少为3的简单连通图G的k-正常边染色法f,若对任意uv∈E(G)有C(u)≠C(v),||E|-|Ej||≤1,i,j=1,2,…,k.其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)},Ei={uv|f(uv)=i,uv∈E(G)},则称f为G的一k-均匀邻强边染色,简称k-EASEC.并称Xeas(G)=min{k|k-EASEC of G}为G的均匀邻强边色数.给出了图P2n与Pnn-1的均匀邻强边色数.     

关于图P_n~k的均匀染色

对简单图G=〈V,E〉及自然数k,令V(Gk) =V(G) ,E(Gk) =E(G)∪{uv|d(u,v) =k},其中d(u,v)表示G中u,v的距离,称图Gk为G的k方图.本文讨论了路的k方图Pkn的均匀点染色、均匀边染色和均匀邻强边染色,利用图的色数的基本性质和构造染色函数的方法,得到相应的色数χev(Pkn) ,χ′ee(Pkn) ,χ′eas(Pkn) .并证明猜想“若图G有m -EASC,则一定有m +1 -EASC”对Pkn是正确的.     

Halin-图的点强全染色

图G(V,E)的一个k-正常全染色f叫做一个k-点强全染色当且仅当对任意v∈V(G), N[v]中的元素被染不同色,其中N[v]={u|uv∈V(G)}∪{v}．χTvs(G)=min{k|存在图G的k- 点强全染色}叫做图G的点强全色数．对3-连通平面图G(V,E),如果删去面fo边界上的所有点后的图为一个树图,则G(V,E)叫做一个Halin-图．本文确定了最大度不小于6的Halin- 图和一些特殊图的的点强全色数XTvs(G),并提出了如下猜想:设G(V,E)为每一连通分支的阶不小于6的图,则χTvs(G)≤△(G) 2,其中△(G)为图G(V,E)的最大度．     

Pm×Kn的邻点可区别全色数

设G是简单图．设f是一个从V(G)∪E(G)到{1,2,…,k}的映射．对每个v∈V(G),令C_f(v)={f(v)}∪{f(vw)|w∈V(G),vw∈E(G)}．如果f是k-正常全染色,且对任意u,v∈V(G),uv∈E(G),有C_f(u)≠C_f(v),那么称f为图G的邻点可区别全染色(简称为k-AVDTC)．数x_(at)(G)=min{k|G有k-AVDTC}称为图G的邻点可区别全色数．本文给出路P_m和完全图K_n的Cartesion积的邻点可区别全色数．     

最大度不大于5的Halin-图的点强全染色

图G(V,E)的一正常k-全染色f称为G(V,E)的一k-点强全染色当且仅当任意( A)v∈V(G),N[v]中的元素染不同色,其中N[v]={u|uv∈V(G)}U{v},并且XusT(G)=min{k|存在G的k-点强全染色}称为G(V,E)的点强全色数.本文得到了△(G)≤5的Halin-图G(V.E)的XusT(G),并提出如下猜想设G(V,E)为每一连通分支的阶数不小于6的图,则XusT(G)≤△(G)+2,其中△(G)表示图G的最大度.     

若干图的点强全着色

图G(V,E)的一正常k-全着色σ称为G(V,E)的一个k-点强全着色,当且仅当v∈V(G),N[v]中的元素着不同颜色,其中N[v]={u|vu∈E(G)}∪{v}.并且vχsT(G)=min{k|存在G的一个k-点强全着色}称为G(V,E)的点强全色数.本文得到了一些特殊图的点强全色数χvTs(G),并提出猜想:对于简单图G,有k(G)≤χvTs(G)≤k(G)+1,这里k(G)表示图G中所有顶点间距离不超过2的点集的最大顶点数.     

一类新的魔术染色

借鉴于Kotzig和Rosa在1970年定义的边魔术全标号,我们给具有p个顶点和q条边的图G定义了一个新的染色标号,叫作k-魔术染色f,其中f是一一映射V（G）∪E（G）→{1,2,…,p＋q},使得任何边uv∈E（G）满足f（u）＋f（v）=k＋f（uv）,并得到超级k-魔术染色的概念.我们得到了一些具有k-魔术染色或超级k-魔术染色图的性质以及构造这些图的方法.最后,我们猜测所有的树具有一个超级k-魔术染色.     

$P_m\times K_n$的邻点可区别全色数

设 $G$ 是简单图. 设$f$是一个从$V(G)\cup E(G)$ 到$\{1, 2,\cdots, k\}$的映射. 对每个$v\in V(G)$, 令 $C_f (v)=\{f(v)\}\cup \{f(vw)|w\in V(G), vw\in E(G)\}$. 如果 $f$是$k$-正常全染色, 且对任意$u, v\in V(G), uv\in E(G)$, 有$C_f(u)\ne C_f(v)$, 那么称 $f$ 为图$G$的邻点可区别全染色(简称为$k$-AVDTC).数 $\chi_{at}(G)=\min\{k|G$ 有$k$-AVDTC\}称为图$G$的邻点可区别全色数.本文给出路$P_m$和完全图$K_n$ 的Cartesion积的邻点可区别全色数.     

图$P_m\times P_n, P_m\times C_n$ 和C_m\times C_n$}的邻点可区别全色数的注记

设 $G$ 是一个简单图. 设$f$是从$V(G) \cup E(G)$到 $\{1, 2,\ldots, k\}$的一个映射.对任意的 $v\in V(G)$, 设$C_f(v)=\{f(v)\}\cup \{f (vw)|w\in V(G),vw\in E(G)\}$ . 如果 $f$ 是一个 $k$-正常全染色, 且对 $u, v\in V(G),uv\in E(G)$, 有 $C_f(u)\neq C_f(v)$, 那么称 $f$ 为$k$-邻点可区别全染色 (简记为$k$-$AVDTC$). 设     

图C_5∨K_t的邻点可区别全色数

设f是图G的一个正常全染色.对任意x∈V(G),令C(x)表示与点x相关联的边的颜色以及点x的颜色所构成的集合.若对任意uv∈E(G),有C(u)≠C(v),则称.f是图G的一个邻点可区别全染色.对一个图G进行邻点可区别全染色所需的最少的颜色的数目称为G的邻点可区别全色数,记为Xat(G).用C_5∨K_t表示长为5的圈与t阶完全图的联图.讨论了C_5∨K_t的邻点可区别全色数.利用正多边形的对称性构造染色以及组合分析的方法,得到了当t是大于等于3的奇数以及t是偶数且2≤t≤22时,X_(at)(C_5 V K_t)=t+6,当t是偶数且t≥24时,X_(at)(C_5 V K_t)=t+7.     

P_m×P_n的邻强均匀边色数

图G的一个k-正常着色满足相邻的点所关联的边的色集合不同,且任两色的边数之差不超过1称为G的k-邻强均匀边染色,图G邻强均匀边染色中最小的k称为图G的邻强均匀边色数.本文得到了P_m×P_n的邻强均匀边色数.