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问题 如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1 问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1 图 2 图 3 图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ … 相似文献
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文[1]建立了关于"垂边三角形"的有关概念:
如图,过△ABC的顶点A作A1B1⊥AB,过B作B1C1上BC,过C作C1A1⊥CA,交出的△A1B1C1叫做△ABC的垂边三角形.它相当于把△ABC顺时针或逆时针旋转了90°适当放大.…… 相似文献
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去年全国高中联合数学竞赛第二试第二题是这样的:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.(图形见本期 P40图7)这道题的解法可分成三类:1°平几证法;2°解几证法;3°复数证法.所运用的知识是紧扣中学现 相似文献
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<正>构造是一种创造能力,就平面几何而言主要是作辅助线,本文以2014年几道中考题为例,谈谈如何构造课本基本图形(如图1常称A字型)解(证)题.例1(湖北黄石)AD是△ABC的中线,将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图2,当△ABC为等边三角形且α=30°时,证明:△AMN∽△DMA; 相似文献
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A组题一、填空题 (每小题 4分 ,共 40分 )1 .三角形的两边长为 4和 6,第三边为偶数 ,则此三角形的周长为 .2 .等腰三角形的底边长为 6cm ,它的周长不大于2 0cm ,则腰长的取值范围是 .3 .在△ABC中 ,∠A -∠C =2 5°,∠B -∠C =2 0° ,则∠A =,∠B =,∠C =.4.如图 ( 1 ) .以∠α为公共角的三角形是和;以BD为公共边的三角形有 .5 .如图 ( 2 ) ,AD ,CE是等边△ABC的二条中线 ,则图中与△ABD全等的三角形共有个 . 6.如图 ( 3 ) ,AB⊥AC ,DC⊥AC ,要使△ABC≌△CDA ,还要增加一个全等条件 ,那么需增加的一个条件是或或 .7.在… 相似文献
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在一些平面几何题中 ,已知条件中的线段比较分散 ,这时就要考虑是否能将这些分散的线段集中到一个三角形 .这里介绍一种构造三角形的方法就是运用旋转法 ,它能达到把分散的条件相对集中的目的 ,在同一个三角形中来研究所给出的问题 .例 1 如图 ,在等边△ABC中 ,任取一点P ,连结PA ,PB ,PC ,求证 :以PA ,PB ,PC为边可以构成一个三角形 .证 :将△APC绕C点逆时针方向旋转 60°,得△BQC ,则△APC≌△BQC ,∴AP =BQ ,PC =QC .连结PQ ,又∵∠PCQ =60°,∴△PCQ为等边三角形 .∴PQ =PC ,∴△BQP就是以PA ,PB ,PC为边组成… 相似文献
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本刊文 [1 ]发现了三角形的新特殊点 ,并作了初步探讨 ,文末留下了三个猜想 .本文将完成其中猜想 1和猜想 2的证明 ,从而解决任意三角形正则点个数的确定问题 .定理 除文 [1 ]所言的一个正则点 Z外 ,非等边三角形必有而且只有另一个正则点Z′.Z′在△ ABC的外部 ,且Z′A =bcλ′, Z′B =acλ′, Z′C =abλ′(λ′=a2 b2 - 2 abcos(C - 60°)等三式 )图 1证明 设△ ABC为非等边三角形 ,并设 A为其最大内角 ,B为最小内角 ,则 A >60°,B <60°.情形 若 A - 60°>60°- B,按以下方法构图 ,使∠ B′O′C′ =A -60°,∠ C′… 相似文献
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含有60°内角的三角形的性质及应用 总被引:1,自引:1,他引:0
含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1 三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2 三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明 当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性 设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH… 相似文献
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A组一、填空题(每小题3分,共24分)1.sin54°,cos35°,cos40°,tan50°从小到大的排列顺序是.2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,且tanA>1,那么∠A的取值范围是.3.如图,矩形ABCD中(AD>AB),AB=a,∠BDA=Q,作AE交BD于E,使AE=AB.试用a和Q表示AD=,BE=.4.已知tanA-cotA=2,那么tan2A+cot2A的值是.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD则sin∠ACD=,tanA=.6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A的平分线交BC于点D,AD=43,则BC=.7.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,上底CD=3,下底AB=7,BC=42,则底角B=,梯形ABCD的面积=.8.甲… 相似文献
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一般情况下,四面体表面展开图是不规则的多边形,文[1]研究了表面展开图为三角形的情形.本文探索表面展开图为四边形的情形,并给出其充要条件及由四边形折成四面体的方法.定理1 四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两个顶点上的三面角之和均为180°.证明 若四面体S—ABC的表面展开图是四边形A1B1C1D1,如图1,因C1、C、D1;C1、B、B1共线, ∠C1CB ∠BCA1 ∠A1CD1=180°, ∠C1BC ∠CBA1 ∠A1BB1=180°.又△SAB≌△B1A1B,△SBC≌△C1BC,△SAC≌△D1A1C,所以以B、C为顶点的三面角之和均为180°.反之,若四面体S—AB… 相似文献
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在初中几何中 ,线段的比例式或者等积式的证明是常见的一种形式 .证明这类题一般可先把等积式化成比例式 ,然后选择适当的三角形并证明它们相似 ,有些则可通过有关比例线段定理等直接或间接地证明之 .一、化等积式为比例式 ,寻找可能相似的三角形例 1 如图 1,已知 :AD ,BE是△ABC的高 ,AD ,BE交于点F ,求证 :AF·FD =BF·FE .分析 :AF·FD =BF·FE FEFD= AFBF.从比例式的线段位置找出可能相似的两个三角形△AFE和△BFD ,通过∠FDB =∠FEA =90° ,∠ 1=∠ 2 ,可得△BFD∽△AFE .例 2 如图 2 ,AD是△ABC的高 ,AE… 相似文献
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A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如图 ,在△ABC中 ,AH⊥BC于H ,则图中以AH为高的三角形共有个 .2 .一个三角形的两边长为2、9,第三边长为偶数 ,则三角形的周长为 .3 .已知△ABC中 ,∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4,则这个三角形是三角形 .4.如图 ,已知AD ,BC相交于E ,且OA =OC .补充一个条件 ,可使△OAD≌△OCB ,应补充的条件是 (只须写出一个条件 ) ,此时 ,判定△OAD与△OCB全等的理由是 (填判定公理或推论的简写形式 ) .5 .等腰三角形中 ,有一个内角为 5 0°,则其余两个角的度数为 .6.等腰三角形的角平分线、中线和高共… 相似文献