关于四面体体积的两个新不等式

定理一若四面体的体积为V ,三组对棱的距离分别为R_1、R_2、R_3,各组对棱中点连线长分别为l_1、l_2、l_3,则有 k_1k_2k_3≤3V≤l_1l_2l_3 当且仅当四面体是正四面体时,等式成立。证明设四面体为DABC,如图,过A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,得新四面体DA′B′_(D′)C′,其体积V′=4V。先证 k_1k_2k_3≤3V 因为AB是△A′B′C′的中位线,所以AB∥平面DA′B′,AB到平面DA′,B′的距离就是AB与CD的距离k_1,故E到平面DA′B′的距离也为K_1,故C′到平面DA′B′~(C′)的距离为2k_1。     

关于四面体的两个不等式

贵刊文 [1]将一个三角形不等式移植到四面体 ,得到如下结果 :图 1　定理 1图定理 1　设四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 的面Ａ2 Ａ3Ａ4 ,Ａ3Ａ4 Ａ1,Ａ4 Ａ1Ａ2 ,Ａ1Ａ2 Ａ3的面积与外接球半径和体积分别为△1,△2 ,△3,△4 ,Ｒ ,Ｖ .Ｐ是四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 内的任意一点 ,ＡｉＰ与Ａｉ 所对的侧面交于点Ａ′ｉ,ｉ=1,2 ,3,4 .则Ａ1Ａ′1·Ａ2 Ａ′2 ·Ａ3Ａ′3·Ａ4 Ａ′4 △′1·ＰＡ′1 △2 ·ＰＡ′2 △3·ＰＡ′3 △4 ·ＰＡ′4≥2 4 3Ｖ316Ｒ8( 1)等号当且仅当Ｐ为正四面体的中心时成立 .受文 [1]启发 ,笔者通过探究 ,得到两个与 ( 1)式类似的…     

关于四面体的两个不等式

本文将给出关于四面体的两个不等式与其证明。定理一若α_i(i=1,2,……,6)、R、r与α_t′(i=1,2,……6)、R′、r′分别表示四面体ABCD与四面体A′B′C′D′的6条棱长和外接球半径、内切球半径,则成立不等式: 144rr′≤sun from i=1 to 6 α_(?)α_(?)′≤16RR′其中左边等号成立的充分必要条件为:两个四面体均为正四面体;右边等号成立的充分必要条件为:两个四面体对应棱长成比例且每一四面体的三对对棱相等。定理二若m_i、h_i(i=1,2,……,6)、R、r与m_i′、h_i′(i=1,2,……,6),R′、r′分别表示四面体ABCD和四面体A′B′C′D′的四条中线、四条高和外接球半径、内切球半径,则成立不等式:     

对两个新命题的思考

文 [1]发表了罗南星老师关于一个代数不等式的一般结论及证明 ,文 [2 ]发表了高峰老师关于三角形内接正三角形的个数问题的一般结论及证明 .笔者对两位老师的工作表示敬意 .但两文的证明亟待改进 ,笔者在此给出更为简明的证法 ,与广大读者及二位老师共享 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,则ｘｍ(ｘｎ-ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0 ( 1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 ( 1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .本定理利用著名的排序不等式即刻可证 ,证法如下 :证　由函数ｘａ(ｘ∈Ｒ )的单调性 ,取两…     

四面体中的两个不等式

本文将用初等方法研究四面体中的几个不等式。定理1 设P是四面体ABCD内任意一点,AP交平面BCD于A＇,BP交平面ACD于B＇,CP交平面ABD于C＇,DP交平面ABC于D＇。则 AP·BP·CP·DP/AA＇·BB＇·CC＇·DD＇≤(3/4)~4 (1)当且仅当P为四面体ABCD的重心时,等号成立。     

四、关于四面体的几个新不等式

四、关于四面体的几个新不等式湖南酃县进修学校唐立华湖南教育学院冷岗松本文将建立四面体的几个新的不等式，它们是三角形中已有结果在空间的自然推广，并提出了两个猜想．一、Ｗａｌｋｅｒ不等式的推广陈计先生在《数学通讯》１９９３年第６期上提出并证明了：在△ＡＢ...     

四面体的两个体积公式

四面体的两个体积公式韩绍文席学勤（河南项城市高中４６６２００）本文给出四面体的两个体积公式．定理１如果一个四面体的两条相对棱的长分别是ａ，ｂ，它们的距离是ｄ，所成的角为θ，那么它的体积是Ｖ＝１６ａｂｄｓｉｎθ证明如图，四面体ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ａ，ＣＤ...     

关于抛物线的两个命题的推广

许多资料证明了下列两个命题 :命题 1　过原点Ｏ引抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的两条互相垂直的弦ＯＰ、ＯＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ,Ｏ)命题 2　设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )和原点Ｏ ,过定点Ｍ(2ｐ,Ｏ)的动直线ｌ与抛物线相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则∠ＰＯＱ恒为直角 .本文对这两个命题做一推广 .命题 1的推广　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上的定点Ａ(ａ ,ｂ)引抛物线的两条互相垂直的弦ＡＰ、ＡＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ａ ,-ｂ) .证明　设Ｐ ｙ21 2ｐ,ｙ1 、Ｑ ｙ222ｐ,ｙ2 (ｙ1 ≠ｙ2 ) ,则直线ＰＱ的方程为(ｙ-ｙ1 ) ｙ222ｐ- ｙ21 2ｐ …     

关于三角形正则点的两个命题

命题 1　在△ ABC中 ,∠ A =12 0°,则在其外必存在一个正则点 .证明　如图 5,任作正△ DEF,以 ED为弦 ,向外侧作含 60°圆周角的 DE,在其上取一点 Z,使∠ DZF=∠ B,连 ZE,则∠ FZE=∠ C;分别作 ZD、ZE、ZF 图 5的中垂线两两相交于 A′、B′、C′,则 Z显然是△ A′B′C′的正则     

关于勃罗卡点的两个命题

关于勃罗卡点的两个命题苗大文（安徽省定远中学２３３２００）文［１］、［２］、［３］都讨论了勃罗卡的有关问题，读来很受启发．笔者也得到了两个命题供参考．图１命题１设Ｐ为△ＡＢＣ的勃罗卡点（如图１），记△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢ，△ＡＢＣ的外接圆半径分...     

关于四面体的几个不等式

本文将用初等方法证明四面体中的几个不等式。定理设四面体ABCD的体积为V,顶点A、B、C、D所对面的面积分别为S_A、S_B、S_C、S_D,棱长BC=a、DA=a＇、CA=b,DB=b＇。AB=c,DC=C＇,这六条棱的乘积为P,则有以下不等式: (1)(aa＇)~2 (bb＇)~2 (cc＇)~2 ≥4(S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2); (2)S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2≥9(3V~4)1/3; (3)P≥72V~2。当且仅当四面体为正四面体时(1)、(2)、(3)中等号成立。     

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

关于递推数列的两个命题与应用

纵观近几年的高考数学试题,发现递推数列中不等式问题已成为目前的一个热点,它时常被设置成高考压轴题.这类问题新颖多变,综合能力强,可联系的知识面较广,在现行许多文献中,不少作者曾举例探讨过[1]-[3].实际上,这类问题往往都与函数的不动点相关联,本文将给出联系不动点与递推     

关于递推数列的两个命题与应用

纵观近几年的高考数学试题，发现递推数列中不等式问题已成为目前的一个热点，它时常被设置成高考压轴题．这类问题新颖多变，综合能力强，可联系的知识面较广，在现行许多文献中，不少作者曾举例探讨过．实际上，这类问题往往都与函数的不动点相关联，本文将给出联系不动点与递推数列的两个简单命题及应用，它可以帮助我们了解这类试题的命题背景，揭示试题蕴涵的思想方法．     

关于Thompson定理及两个相关命题的评注

本文指出了文［１－３］关于复矩阵、实矩阵及四元数矩阵与其（嵌入）子矩阵的奇异值交错不等式的几个定理的局限性，给出了Ｔｈｏｍｐｓｏｎ定理必须具备的隐含条件，指出了隐含条件之外仍使Ｔｈｏｍｐｓｏｎ定理成立的两种情形，进而提出了一个尚须进一步研究的问题     

关于异面直线的两个命题及其应用

在解异面直线的题目时,常常会遇到一些相对简单但过程较繁的问题,如能运用下面两个命题。会给解题带来方便。     

两个不易发现错误的命题

数学是一门逻辑性很强的学科.这就要求在教学、辅导中提供的论证、例题、习题都应该是严谨周密、准确无误的.但时常由于命题人的失误,导致命题的错误.而且有些错误的命题又很难发现,以致流传甚广.下面仅举两例:     

两个特殊命题的证明

利用闭区间套定理精确证明幂级数收敛半径的存在性问题．利用有限覆盖定理证明一含参变量积分问题．     

四面体的一个体积公式及其两个推论

四面体——这种最简单的几何体,其体积的计算公式有各种不同的形式。通常的的几何教材中,采用V=1/3sh,即将四面体的体积等于底面积与高的积的三分之一。本文借助这个公式,导出四面体的另一个体积公式,并推出两个推论,以及它们的应用。一,四面体的体积公式