疑难与解惑：关于“曲线与方程”在极坐标系和直角坐标系下的区别

考虑极坐标系下的两条曲线ρ =11-ｃｏｓθ ( 1)和 ρ =2ｃｏｓθ- 1( 2 )曲线 ( 1)是我们所熟悉的抛物线 ,关于极轴对称 ,开口向右 ,且顶点坐标是 ( 12 ,π) .图 1　蜗线曲线 ( 2 )是一条蜗线 ,关于极轴对称 ,同学们不妨用描点法把它作出来 ,其形状如右所示 .现在的问题是 ,这两条曲线有交点吗 ?如果有 ,有多少个 ?如何求交点 ,按照直角坐标系下的办法 ,只要求出它们方程的公共解就可以了 .由此 ,我们将方程 ( 1)和 ( 2 )联立起来 ,消去 ρ ,得11-ｃｏｓθ=2ｃｏｓθ - 1,整理 ,得2ｃｏｓ2 θ - 3ｃｏｓθ 2 =0 ( 3)令ｃｏｓθ=ｔ ,得2ｔ…     

极坐标系下的图形旋转

法则　设曲线Ｃ的极坐标方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,把曲线Ｃ绕极点逆时针方向旋转角α (0 <α <π)得曲线Ｃ′ ,则曲线Ｃ′的极坐标方程为 :ｆ(ρ ,θ-α) =0 .例 1　 (1999年高考题 )在极坐标系中 ,曲线 ρ=4ｓｉｎ(θ - π3)关于 (　　 )(Ａ)点 (2 ,π3)中心对称 .(Ｂ)直线θ=5π6 轴对称 .(Ｃ)直线θ=π3轴对称 .(Ｄ)极点中心对称 .解　因为 ρ =4ｓｉｎθ的图形是圆心在 (2 ,π2 )半径为 2的圆 ,如图 1(1) ,只须把此圆绕极点按逆时针方向旋转 π3,即得曲线 ρ =4ｓｉｎ(θ - π3) ,此圆的圆心为 (2 ,5π6 ) ,如图 1(2 ) ,故选 (Ｂ) .(1 )　…     

点关于圆的极线的三种情形

人教版高中《平面解析几何》必修本P62 例 3描述了这样一个命题 :若点P(a ,b)在圆x2 +y2=r2 (r>0 )上 ,则直线ax +by=r2 (把圆方程中x2 ,y2 各拿一个字母分别换成a ,b)表示过点P的圆的一条切线 .这是情形①在一些教辅资料中 ,则介绍了情形② :若点P(a ,b)在圆x2 +y2 =r2 (r>0 )外 ,过点P作圆的两条切线 ,切点分别为A ,B ,则直线ax +by=r2 表示过点A ,B的直线 (该直线方程俗称为切点弦方程 )略证　设A ,B的坐标分别为 (xA,yA) ,(xB,yB) ,由情形①得 :lAP:xAx+yAy=r2lBP:xBx+yBy=r2因点P既在lAP 上 ,又在lBP上 ,则 xAa+yAb=r2xBa…     

圆系方程及运用技巧

具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系．利用圆系知识来求解与圆有关的问题,往往简捷明快,事半功倍．下面就常见的几种圆系方程及其技巧归纳如下．     

极坐标系的旋转公式

人教版《平面解析几何》(必修)P144第10题：O是极点,Ox是极轴,点M的坐标是(ρ,θ),把Ox绕点O旋转角度α以后,Ox转到Ox’的位置,对于新的极坐标系,点M的坐标是（ρ‘,θ‘),求点M的新旧坐标之间的关系。     

极坐标系下二次积分次序交换的注记

在θ型和r型积分区域概念的基础上,借助图形的空间拓扑结构,仿照直角坐标系的定限方法,更加便捷地解决了极坐标系下二次积分的积分定限和积分次序的交换问题,并结合实例说明它的应用.     

曲线与方程 圆

1　考点简析“曲线和方程” ,“圆”分别是“圆锥曲线”的第一大节和第二大节 .考试内容 :曲线和方程 .由已知条件列出曲线的方程 .充要条件 .曲线的交点 .圆的标准方程和一般方程 .考试要求 :掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念 .能够根据所给条件 ,选择适当的直角坐标系求曲线的方程 ,并画出方程所表示的曲线 .理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 ,能够初步判断给定的两个命题的充要关系 .掌握圆的标准方程和一般方程 ,能熟练利用圆的几何性质解决与圆有关的综合题 .根据已知条件求曲线的方程既是解析几何的主要内容 ,…     

极坐标系下非分裂PML及时域有限元实现

在弹性波传播的数值模拟中,吸收边界被广泛应用于截取有限空间进行无限空间问题的分析.完全匹配层（perfect matched layer, PML）吸收边界较其他吸收边界条件具有更优越的吸收性能,已被成功应用于直角坐标系下的弹性波方程正演模拟.考虑极坐标系下二阶弹性波动方程,通过采用辅助函数的方法,提出了一种非分裂格式的完全匹配层吸收边界条件.并且基于Galerkin近似技术,给出了非对称以及轴对称条件下的时域有限元计算格式.通过数值算例分析了该极坐标系下分裂格式的完全匹配层吸收边界的有效性.     

圆系方程及其应用

人教社出版的普通高中课程标准试验教科书A版必修二第133页A组第10题：求经过点M（2,-2）以及圆x2＋y2-6x=0与x2＋y2=4交点的圆的方程．     

圆系方程的应用

在高二年级的数学拓展课上,当讲到圆这一节内容时,笔者曾经非常犹豫要不要将圆系方程介绍给同学们．由于现行高中教材中,除了直线系方程有少量介绍外,并未涉及圆系方程的相关内容,而圆系方程的思想对同学们的思维能力而言确实具有相当的挑战性．笔者经过比较深入系统的研究后,挑选出圆系方程中与课本及考纲结合比较紧密,高于教材却又优于教材的一部分内容给同学们作了介绍,取得了非常理想的教学效果．     

两圆方程相减后所得方程的几何意义

1两圆相交 2两圆相切(内切或外切) 3两圆相离 4范例     

极坐标系中平面区域的分类与实例分析

针对极坐标系中二重积分计算教学与学习过程中出现的疑惑与问题,给出了极坐标系中积分区域分类的定义和图形展示,并就如何将复杂区域分割成极坐标系中的简单区域和构建相应简单区域的不等式描述形式的方法进行了分析,并借助具体实例对方法进行了验证.     

圆素几何和射影配极

总可以在∧ｎＲ２ｎ上定义两个对称的双线性型（Ωαβ）和（Ｊαβ），它们分别由Ｒ２ｎ的体积元和Ｒ２ｎ上的辛形式确定．特别，当ｎ＝２时，视（Ωαβ）和（Ｊαβ）为Ｐ５中的两个配极，我们证明了：存在这两个配极的绝对形的交集和Ｌｉｅ’ｓ圆的集合之间的一一对应，并且，两个Ｌｉｅ′ｓ圆同向相切当且仅当它们在Ｐ５中的像点关于（Ｊαβ）彼此共轭，此外，Ｐ５中的射影变换Ｇ保持（Ωαβ）不变当且仅当Ｇ＝∧，∈ＰＧＬ（４，Ｒ），又如果Ｇ还保持（Ｊαβ）不变，则必∈ＰＧｓｐ（４）．于是，我们得到圆素几何的射影模式，这个几何空间的运动群是ＰＧｓｐ（４）．     

极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

求旋转曲面方程的平行圆法

我们知道“一曲线绕一定直线旋转而成的曲面叫旋转曲面 ,该曲线叫旋转曲面的母线 ,定直线叫它的轴 .”如果母线与轴异面 ,这时如何求出旋转面的方程 ?本文介绍一种适用的方法 .对于旋转曲面而言 ,母线上任一点的轨迹为中心在轴上的圆 ,它所在的平面与轴垂直 .这样 ,旋转曲面又可看成是“·中 ·心 ·在 ·轴 ·上 ·移 ·动·且 ·与 ·母 ·线 ·相 ·交 ·的 ·平·行 ·圆 ·所 ·生 ·成 ·的 .”由此 ,可任取定轴上一点 (a,b,c) ,设 (l,m,n)为轴的方向 ,则平行圆的方程可表示为S≡ (x -a) 2 (y -b) 2 (z -c) 2 =λp≡ lx my n…