关于丢番图方程 x~4-Dy~2=1

<正> 关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0且不是平方数,(1)有过一系列工作,其主要结果如下:Nagell 证明了 D≡3(mod 8)是素数,(1)无正整数解.Ljunggren 证明了(1)最多只有两组正整数解.Cohn 证明了 D 使得 x~2-Dy~2=-4有解 x≡y≡1(mod 2),则(1)除开有限个D 的值外,仅有整数解 x=1.     

关于丢番图方程x~2+1=2y~2,x~2-1=2DZ

的解的研究,是一很有意义的问题.当 D=P 是一个奇素数时,Ljunggren 证明了(1)无正整数解(x,y,z).而当 D=2P 时,柯召、孙琦证明了除开 P=3,(x,y,z)-(7,5,2)外无其他的正整数解.作者曾证明,如果方程 u~2-Dv~2=-1有整数解,则(1)无正整数解.本文研究更为一般的 D,顺便给出丢番图方程 x~4-Dy~2=1的几个一般性结果.我们由(1)的第一式可得出     

关于丢番图方程X~3±1=1267y~2的整数解

关于丢番图方程x³±1=1267y3±1=1267y²的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x2的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x³-1=1267y3-1=1267y²有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x2有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x³+1=1267y3+1=1267y²仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程中的柯召—Terjanian—Rotkiewicz方法

1962年,柯召[1]为了证明丢番图方程 x~2-1=y~p,p>3是素数,(1)无整数解,提出了计算Jacobi符号 (Q_p(y)/Q_q(y))来处理丢番图方程的方法,这里Q_n(y)=y~n 1/y 1,2十n.后来,1977年,Terjanian[2]为了证明丢番图方程     

有限群中一个未解决的丢番图方程

在文[1]中,我们曾介绍在有限群的研究中提出的二个丢番图方程 (1) P~m-2q~n=±1,p、q是素数,m>1,n>1的求解问题,并提到Crescenzo在文[2]中证明了定理:除开239~2-2.13~4=-1以外,方程(1)如有放,则m=n=2。 最近发现3~5-2.11~2=1也满足方程(1),因此,上述Crescenzo的定理是错的。错误产生的原因在于该文引理1用了论断:“1 ωq~k(其中k相似文献   

关于丢番图方程(an)x+(bn)y=(cn)z

设n,a,b,c是正整数,gcd(a,b,c)=1,a,b≥3,且丢番图方程a~x+b~y=c~z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).证明了若(x,y,z)是丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z的正整数解且(x,y,z)≠(1,1,1),则yzz或xzy.还证明了当(a,b,c)=(3,5,8),(5,8,13),(8,13,21),(13,21,34)时,丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于Je(s)manowicz猜想的一个注记

本文研究了Je(s)manowicz于1956年提出的关于丢番图方程(1.1)解的猜想.利用数论中的一些方法,得到了丢番图方程(1.2)的所有正整数解,证明了Je(s)manowicz猜想在这类情况下的正确性.     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

两个丢番图方程y~2=nx(x~2±1)

本文利用Ljunggren,Cohn,Bennett和Walsh以及陈建华等人的结果,给出了两个丢番图方程正整数解的解数上界和有效算法.     

关于丢番图方程x2-2p=yn的解

利用初等方法讨论了丢番图方程x2-2p=yn,n＞1,得到当素数p满足一定条件时,存在一类方程无解.     

两个丢番图方程y~2=nx(x~2±1)

本文利用Ljunggren,Cohn,Bennett和Walsh以及陈建华等人的结果,给出了两个丢番图方程正整数解的解数上界和有效算法.     

与马猜想有关的一类不定方程

设p是奇素数,b,t,r∈N.1992年,马少麟猜想丢番图方程x2=22b+2p2t-2b+2pt+r+1有唯一的正整数解(x,b,p,t,r)=(49,3,5,1,2),并且证明了这个猜想蕴含McFarland关于乘子为-1的阿贝尔差集的猜想.在[Ma S L,MaFarland'conjecture on Abel...     

一类丢番图方程与有限域上对角方程的解

给出了一类丢番图方程的解数为11,…,18时,其最小整数解的具体表达式,并推广得到该类丢番图方程的解数为素数p时,其最小整数解的具体表达式.还补充了该类丢番图方程的解数为6,8,10时,w的具体值,其中w为有限域Fq上简单对角方程的次数向量d=(d1,…,dn)的压缩向量.     

关于丢番图方程 χ^3一У^6=3pz^2的整数解

设p=5（mod 6）为素数．证明了丢番图方程χ^3一У^6=3pz^2。在p=5（mod 12）为素数时均无正整数解;在P=11（mod 12）为素数时均有无穷多组正整数解,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式,同时还给出了该方程的部分整数解．     

关于丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2

设D_1=multiply from i=1 to s q_i(s=1或2),q_i≡-1(mod6)(i=1,2,…,s)是彼此不同的奇素数,p≡1(mod6)为奇素数.运用初等方法讨论了丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2(α=0或1)的正整数解的情况.     

关于线性丢番图方程的Frobenius问题

本文考虑线性丢番图方程a_1x_1+…+a_kx_k=b的非负整数解的存在性问题.为解答Frobenius开问题,对于k2,给出整数G(a_1,…,a_k)的表示形式,该整数是使得b≥G a(_1,…,a_k)时,上述丢番图方程总存在非负整数解的最小整数.     

关于丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的解

讨论了丢番图方程1+X+Y=Z的一个特殊情形.借助计算机,用初等方法给出了指数丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的全部非负整数解.     

指数丢番图方程a~x+b~y=c~z

设a=|m(m~4-10m~2+5)|,b=5m~4-10m~2+1,c=m~2+1,其中m是正偶数。利用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻结果,证明了指数丢番图方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5)。