五类特殊图的三种距离矩阵的特征多项式

设G是一个具有顶点集V(G)={v_1,v_2,…,u_n}的n阶简单图.设d_(i,j)=d(v_i,v_j)表示图G中任意两个顶点v_i与v_j的距离.矩阵D(G)=[d_(i,j)]_(n×n)定义为图G的距离矩阵.定义Tr(v)=∑_(ueV(G))d(u,u)为图G中顶点u的点传递度.Diag(Tr)表示以G中顶点的点传递度为主对角线上元素的对角矩阵.则矩阵D~L(G)=Diag(Tr)一D(G)和D~Q(G)=Diag(Tr)+D(G)分别定义为图G的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵.分别得到五类特殊图的距离,距离拉普拉斯,距离无符号拉普拉斯的特征多项式的一般表达式.     

E~(G(i))类图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析

设Sn+1是n+1个顶点的星图,G是任意的p阶连通图.ΨG(i)(n,p)表示把Sn+1的n度点与G的第i(1 i p)个顶点重迭后得到的图;ErG(p+i)(r-1)表示把rG的r-1个分支的第i个顶点依次与Sr的r-1个1度点邻接,同时把剩下的一个图G的第i个顶点与Sr的r-1度点重迭后得到的图.我们通过讨论图簇ErG(p+i)(r-1)∪(r-1)K1的伴随多项式的因式分解,证明了它的补图的色等价图的结构性质.     

不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的

设d_1,d_2,...d_k为尼个非负整数.若图G的顶点集V可划分成k个子集合V_1,V_2…,V_k,使得对于任意的i∈{1,2,...,k},由V_i导出的子图G[V_i]的最大度至多为d_i,则称图G是(d_1,d_2,...,d_k)-可染的.1976年,Steinberg猜想:不含4-圈和5-圈的平面图是(0,0,0)-可染的.在Steinberg猜想的驱动下,人们证明了以下三个结论:(1)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是列表(1,1,1)-可染的;(2)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是(1,1,0)-可染的;(3)对每一个i∈{5,6,7,8},不含4-圈和i-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.为使结论(3)更加完整,本文证明不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.     

不含4-圈和5-圈的平面图的非正常2-染色的一个新结果

设d_1,d_2,···,d_k是k个非负整数,若图G=(V,E)的顶点集V能被剖分成k个子集V_1,V_2,···,V_k,使得对任意的i=1,···,k,V_i的点导出子图G[Vi]的最大度至多为di,则称图G是(d_1,d_2,···,d_k)-可染的,本文证明了既不含4-圈又不含5-圈的平面图是(9,9)-可染的.     

几类特殊Corona图的b-染色数与b-连续性研究

在一个图G的正常k染色中,如果每一个颜色类中都至少存在一个顶点,使得其在其它的k-1个颜色类中都至少有一个邻居,则称这样的正常k染色为b-染色.一个图G的b-染色数是最大的正整数k,使得用k种颜色能够对G进行b-染色,用b(G)来表示.如果对于任意的正整数k:χ(G)≤k≤b(G),用k种颜色可以对图G进行b-染色,则称图G是b-连续的.设G1与G2为任意图,称图G=G_1·G_2为图G_1与G_2的Corona图,其中G包含G_1的一个拷贝,包含G_2的|V(G_1)|个拷贝,且G_1的第i个顶点与G_2的第i个拷贝的所有顶点都邻接.研究了路图与路图、星形图以及轮图所构成的Corona图P_n·P_m、P_n·K_(1,m)以及P_n·W_(m+1)的m-度,b-染色数与b-连续性.     

γ-可图序列与γ-完全子图

一个r-图是一个无环的无向图,其中任何两个顶点之间至多被r条边连接.一个m+1个顶点的r-完全图,记为K_(m+1)^((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图).设σ(K_(m+1)((r))作为子图).设σ(K_(m+1)^((r)),n)(τ(K_(m+1)((r)),n)(τ(K_(m+1)^((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)ⁿ d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)n d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)^((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)^((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)^((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m²+3m+1-[(m2+3m+1-[(m²+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)2+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)^((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)^((r)),n)之值.     

关于n-连通图的完美匹配与最大匹配

ξ1.引言本文所考虑的图均指无自环、无重边、无向有限的连通图,没有特别指明的术语见[1].以V(G)、E(G)分别表示图C的顶点集与边集. 设M是图G的一个支撑子图.若M的每个顶点的度是0或者1,则称M是G的一个匹配,若M是G的匹配中边数最多的一个,则称M是G的一个最大匹配;若M是G的匹配,且M中无0度顶点,则称M是G的一个完美匹配. 图G称为n连通的,若对G的任意两个不同的顶点x,y,G中存在n条以x,y为端点     

证明图ρ_n~G(i)∪G等的伴随分解及色等价性

设P_m和C_m分别表示具有m个顶点的路和圈,G是任意的r阶连通图,设m是偶数,把路P_(m-1)的标号为偶数的2~(-1)m个顶点分别与2~(-1)mG每个分支的第i个顶点V_i重迭后的图记为ρ_((m-1)+2~(-1)mr)~G(i),令n=(2m+1)+(m+1)r,把图kρ_n~G(i)的每个分支的一个d(v_i)+1度顶点分别与S_(k+1)的k个1度点重迭后所得到的图记为Y_(kn+1)~(PG),运用图的伴随多项式的性质,首先给出了一类图簇ρ_n~G(i)和Y_(kn+1)~(PG)的伴随多项式.在讨论上述图的伴随多项式的基础上,证明了图ρ_n~G(i)∪G、Y_(kn+1)~(PG)∪(k-1)K_1和Y_(kn+1)~(PG)∪(k-1)K_1∪(k-1)G的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了这些图类的补图的色等价性.     

单圈图的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数（英文）

设G是一个具有n个顶点的简单图.矩阵Q(G)=D(G)+A(G)表示图G的无符号拉普拉斯矩阵,其中D(G)和A(G)分别表示图G的顶点度对角矩阵和邻接矩阵.图G的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数定义为QEE(G)=∑_(i=1)~ne~(λ_i(G)),其中λ_1(G)≥λ_2(G)≥…λ_n(G)是指图G的无符号拉普拉斯特征值.本文确定了具有最大的无符号拉普拉斯埃斯特拉达指数的唯一的n个顶点的单圈图.     

给定顶点数和边数的连通图的Q-谱半径的界

图的无符号拉普拉斯矩阵是图的邻接矩阵和度对角矩阵的和,其特征值记为q1≥q2≥…≥qn.设C(n,m)是由n个顶点m条边的连通图构成的集合,这里1≤n-1≤m≤(n2).如果对于任意的G∈C(n,m)都有q1(G*)≥q1(G)成立,图G*∈C(n,m)叫做最大图.这篇文章证明了对任意给定的正整数a=m-n+1,如果n...     

关于图的L(2,1)标号核图

图的L(2,1)标号核图来自频率分配问题而导致的图论问题.在本文中,我们证得(i)对任意简单图G,存在G的一个标号核图Gcore,使得L(G)=L(Gcore)和L(G)≥|V(Gcore)|-1;(ii)设图G有p个顶点且边集|E(G)|≠φ,存在路 Pi G(1≤i≤m)和路Hs G(1≤s≤n),其中在G中V(Pi)∩V(Pj)=φ(i≠j),在G中V(P,)∩V(Pt)=φ(s≠t),则有m∑t=1|V(Pt)|+n∑s=1|V(Hs)|-(m+n)≥p;(iii)G是p(p≥5)个顶点的简单图,则有p+3≤L(G)+L(G)≤3p-4.     

c-圈图的Laplace谱半径和最大度

设G是一个n阶的简单连通图,符号(d_1,d_2,...,d_n)表示G的度序列,其中d_1≥d_2≥···≥d_n,用符号?(G)表示G的最大度,而符号λ(G)表示G的Laplace谱半径.一个c-圈图是一个恰有n+c-1条边的n阶简单连通图,而符号C(n,?;c)表示最大度等于?的所有n阶c-圈图的集合.本文确定了当0≤c≤1/2(?-1)(?-2)时,C(n,?;c)中所有取得最小Laplace谱半径的极图,并分别确定了当?≥[n+2/3]且d_4≥2或?≥[n/3]+1且d_4=1时,C(n,?;1)中唯一取得最大Laplace谱半径的极图.进一步地,还证明了对于两个n阶的单圈图G和G′,如果?(G)≥[11n/30]+2且?(G)?(G′),则λ(G)λ(G′),并且界"[11n/30]+2"是最佳的.     

关于路长分布的若干问题

1976年,R.J.Faudree和R.H.Schelp在密执安(Michigan)国际图论会议上,提出了关于图的路长分布的十四个问题.笔者曾研究过问题1,本文就问题12所提出的猜想给出一个反例,并构造一类图,由此对问题2、3、4给出部分回答.设G=G(V,E)是一无向简单图,其中V是顶点集,E是边集.如果V中两个顶点u,v在G中存在含有i个顶点的一条路,则称性质p_i(u,v)成立.令S_i(2≤i≤n)是G中有     

一类直径为2的极大平面图的Mostar指数

图G的Mostar指数定义为Mo(G)=∑uv∈Ε(G)|nu-nv|,其中nu表示在G中到顶点u的距离比到顶点v的距离近的顶点个数,nv表示到顶点v的距离比到顶点u的距离近的顶点个数.若一个图G的任两点之间的距离至多为2,且不是完全图,则称G是一个直径为2的图.已知直径为2点数至少为4的极大平面图的最小度为3或4.本文研究了直径为2且最小度为4的极大平面图的Mostar指数.具体说,若G是一个点数为n,直径为2,最小度为4的极大平面图,则(1)当n≤12时,Mostar指数被完全确定;(2)当n≥13时,4/3n2-44/3n+94/3≤Mo(G)≤2n2-16n+24,且达到上,下界的极图同时被找到.     

星形图乘积的pebbling数

图 G的 pebbling数 f(G)是最小的整数 n,使得不论 n个 pebble如何放置在 G的顶点上 ,总可以通过一系列的 pebbling移动把一个 pebble移到任意一个顶点上 ,其中的 pebbling移动是从一个顶点上移走两个 pebble而把其中的一个移到与其相邻的一个顶点上 .设 K1,n为 n+1个顶点的星形图 .本文证明了 (n+2 )(m+2 )≥ f K1,n× K1,m)≥ (n+1) (m+1) +7,n>1,m>1.     

关于第二类Zagreb指数猜想的一个证明

设G是一个n阶简单图.G的第二类Zagreb指数定义为M₂(G)=■d_id_j.其中d_i表示顶点i的度.Xu等(2014)提出了一个关于第二类Zagreb指数的猜想:在所有阶数为n、边数为m的图中,M₂(G)最大的图是拟完全的.借助于门槛图的Ferrers表的性质,本文将上述猜想转化为组合矩阵论优化问题,并给出该猜想的一个代数证明.     

图G_n的优美表示

将给出三个结果:(i)如果图G是SZ(|S|=n≥2)上的整数和图,那么0∈S当且仅当图G至少有一个(n-1)度顶点;(ii)图G(G≠K2)是至少有两个零点的整数和图当且仅当G■K2·Gn;(iii)设图G(G≠K2)是SZ上的整数和图,|S|=n+2,n∈N+.若图G至少有两个零点,则S={mx|m=-1,0,1,2,…,n;x∈Z且x≠0}.     

SG类图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析

设G是任意的P阶连通图，V(G)={V1，V2，…，Vp}，Sn 1是具有度序列(n，1，1，…，1)的．n 1阶星图．令(ψ)^G(i）(n，P)表示图G的第i个顶点与Sn 1的n度点重迭后得到的图；Srp 1^G（i）表示rG的每个分支的第i个顶点依次与Sr 1的r个1度点重迭后得到的图，这里n≥1，P≥2，1≤i≤P．我们通过研究图的伴随多项式的因式分解，证明了两个图簇Srp 1^G(i）U（r-1)K1与(r-1)GUψG(i)(r,P)的补图是色等价的，但它们均不是色唯一的，从而推广了张秉儒证明的文[14]中的定理1。     

图的伴随多项式的两个因式分解定理及其应用

设G是m阶连通图,P_m是m个顶点的路.令S_km+1^G(i)表示把kG的每一个分支的第i(1≤i≤m)个顶点依次与星图S_k+1的k个1度顶点重迭后得到的图;令G_i1^S*(q,km)表示q阶图G的顶点V_i1与S_km+1^p(1)的k度顶点重迭后得到的图     

正则多部竞赛图的竞争指数

设D是一个有向图,若存在无向图G满足:(1)G的顶点集与D的顶点集相同;(2)任取D中的两个顶点x,y,其在G中相邻当且仅当存在D中顶点z,使得D中包含一条从x到z的长为m的有向途径和一条从y到z的长为m的有向途径,则称G为D的m步竞争图,记为G=C~m(D).2004年,Cho和Kim首次提出竞争指数的概念.若对于某个正整数r和所有非负整数i,存在最小正整数q,使C~(q+i)(D)=C~(q+i+r)(D),则称整数q为D的竞争指数,记为cindex(D).2008年,Kim给出了竞赛图的竞争指数的上界.2009年,Akelbek和Kirkland给出了本原有向图的竞争指数.文中研究并计算了正则多部竞赛图的竞争指数.