利用方程组求解不定积分

求解不定积分,解方程的技巧是常用的。基于同样的想法,对于某些不定积分,可以构造方程组,适当降低难度,求解不定积分。 引理:若求integral(P(x)dx),构造integral(Q(x)dx) 则 :integral(P(x) Q(x)]dx)=f(x) C_1 integral(P(x)-Q(x)]dx)=g(x) C_2 则 :integral(P(x)dx)=1/2f(x) g(x) C 同时 :integral(Q(x)dx)=1/2f(x)-g(x)] c' 引理的证明是显然的,关键是构造Q(x)。为叙述方便,以下略去常数C。 (一)从函数的构造上出发,寻找对称式,构造出Q(x).至少可使方程组中的一个好积。下面的例子多是从sinx到cosx的对称。 例1:求integral(sin~2xdx) 解: 记上式为M,N=integral(cos~2xdx) M N=x ,N-M=1/2sin2x 从而 例2:求integral(sin(lnx)dx) 解: M=integral(sin(lnx)dx) ,N=integral(cos(lnx)dx) M N=integral(sin(lnx)dx) integral(xdsin(lnx))=xsin(lnx) -M N=integral(xdcoslnx) integral(coslnxdx)=xcos(lnx)