子域精细积分及偏微分方程数值解

对于偏微分方程半解析法的方程，精细时程积分虽然能求出高度准确的解，但往往面临矩阵尺度太大的困难；另一方面差分法虽然有带宽小的优点，但有稳定性及精度方面的问题．本文提出子域精细积分法，既可利用精细积分的数值优点，又有带宽小的好处．数值例题表明了子域精细积分法的效能．     

空间各向异性弹性问题的八节点理性单元

常规单元的插值函数通常仅考虑单元的几何形状与节点位置,而忽略了反映物理问题关键特性的物性参数,从而降低了其数值分析的效果。相反,理性有限元法是取问题微分控制方程的多项式基本解作为单元内的插值函数,其所形成的刚度阵与问题的物性参数紧密相关,因此它避免了常规有限元法对物理问题和数学问题的割裂,可显著提高数值分析的稳定性和精度。本文利用空间各向异性问题的基本解,构造出满足分片实验要求的八节点理性块体单元。数值算例表明,本文给出的理性单元不仅具有较高的求解精度,而且具有良好的数值稳定性,尤其是对较为畸形的单元反应不敏感。     

空间各向异性弹性问题的二十节点理性单元

常规有限元方法的插值函数通常仅仅从数学层面上考虑单元的几何性质,忽视了与物理问题相关的物性参数,因此可能降低数值分析的效果.理性有限元的构造方法与常规有限元法不同,其插值函数使用的是控制微分方程解析解的线性组合,求解过程是在物理域内直接列式,对单元的应变场和应力场同时进行插值,并在单元级别考虑分片实验的要求并直接进行修正,最终形成与问题物性参数紧密相关的单元刚度阵.该方法避免了传统方法对物理问题和数学问题的割裂,可显著提高数值分析的稳定性和精度.利用空间各向异性问题的基本解,从最小势能原理出发,构造出两种满足分片实验要求的二十节点理性块体单元.数值算例表明,所给出的理性单元不仅具有较高的求解精度,而且具有良好的数值稳定性.     

基于四元数表示的一种改进的刚体动力学保辛积分

根据四元数刚体动力学基本理论,将四元数时间导数与角速度之间的恒等变换引入动能项,由此可以直接得到非奇异的四元数质量矩阵.将其与分析结构力学结合,可以得到4种形式的保辛积分算法.该算法以离散系统作用量变分原理代替四元数微分方程,单位长度约束以代数约束的方式在积分格点处满足.数值仿真结果表明该方法不仅避免了陀螺稳态进动数值仿真中严重的章动误差,并且对于一般情况也展现出很大的精度改善.     

基于四元数表示的多体动力学系统及其保辛积分算法

将四元数引入多体动力学系统,用以描述刚体转动分量,继而据此将问题转入约束动力学领域,建立相关的Lagrange体系.然后引入作用量并进行有限元近似,并保证格点上严格满足约束条件,则根据分析结构力学基本理论,可导出逐步积分的递推格式,并且积分保辛.该法具有未知数少、计算量小等优点,数值结果令人满意.     

H∞控制状态反馈与瑞利商精细积分

根据结构力学与最优控制的模拟理论,指出状态反馈Ｈ∞控制黎卡提方程中的最优参数γ＾－２,实质上就是结构振动或稳定理论中的瑞利商最小本征值。在此基础上对时不变系统给出了精细积分法,可以求出几乎是计算机精度的最优参数γ＾－２。     

基于哈密尔顿体系的裂纹尖端应力奇性分析及计量

对弹性平面扇形域问题,将径向坐标模拟成时间坐标,通过适当的变换,将扇形域问题导向哈密尔顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应力奇性解的计算公式,结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的断裂分析元,将此分析元与有限元法相结合,可以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析,数值计算结果表明,该方法具有精度高,使用十分方便,灵活等优点,是哈密尔顿体系和辛数学优越性的一次具体体现。     

内机械激波——海洋激流的一种解释

采用Lagrange坐标和Hamilton原理,推导了二维两层浅水系统的位移法内波方程,并在此基础上研究了二维内机械激波.通过具体的数值算例分析发现内机械激波具有流速大、持续时间短、空间范围狭小、水面存在突变的特点,指出海洋激流就是内机械激波.内机械激波同样也为海洋断崖提供了一种解释.     

多体系统轨迹跟踪的瞬时最优控制保辛方法

随着近年来机器人在各行业领域的广泛应用,对机器人的动力学与控制性能不断提出新的要求,特别是对设计越来越复杂、操作越来越灵巧的智能机器人,要求其能够对目标轨迹实现高精度跟踪以满足实际工作需求. 因此,针对机器人多体系统对目标轨迹跟踪的任务需求,基于微分代数方程提出瞬时最优控制保辛方法. 首先,采用多体动力学绝对坐标建模方法建立机器人系统的普适动力学方程,即微分代数方程;然后,采用保辛方法将连续时间域内的微分代数方程进行离散化,进而得到以当前位置、速度和拉式乘子为未知量的非线性代数方程组;其次,通过引入对目标轨迹跟踪以及对控制加权的瞬时最优性能指标,根据瞬时最优控制理论获得当前最优控制输入;最后,通过离散时间步的更新完成对目标轨迹的跟踪任务. 为了验证本文方法的有效性,以双摆轨迹跟踪控制为例进行了数值仿真,结果表明:针对机器人轨迹跟踪任务所提出的瞬时最优控制保辛方法能够实现对目标轨迹的高精度跟踪,且瞬时最优控制由受控微分代数方程推导获得,更具一般性,能够适应其他复杂多体系统的轨迹跟踪控制问题.      

《余能理论》引领中国变分原理的研究

正今年是钱令希院士诞辰100周年,带着崇敬的心情我们缅怀先生的一生。作为一名杰出的科学家,除了在很多研究工作中取得优秀的成果,钱令希先生的战略眼光更值得我们学习。1950年钱令希先生在中国科学杂志发表《余能理论》[1]。论文中钱令希先生引用了Westergaard 1941年关于余能原理的论文,特别引用了Westergaard的观点,认为余能方法没有受到与其价