圆锥曲线顶点弦长的统一公式与应用

定义经过圆锥曲线顶点且被圆锥曲线截得的弦叫做圆锥曲线顶点弦．圆锥曲线焦点弦长问题一直是中学数学研究的热点,而对于圆锥曲线顶点弦问题的研究并不多见,为此,本文讨论圆锥曲线顶点弦长度的计算方法．经过对圆锥曲线顶点弦长度的分析和研究,得到如下的统一公式．     

圆锥曲线引课之众“设”纷纭

圆锥曲线是高中数学的重要内容．如何在“直线与圆的方程”和“曲线与方程”的教学基础上恰如其分地引出圆锥曲线的教学,并让学生充分认识圆锥曲线之间的“统一性”,是一个值得研究的课题．笔者所在的“教学行动研究小组”对此做了深入详细的专题研析,提出以下七种方案,可资教师们在圆锥曲线的整体（或局部）引入,兼及说明圆锥曲线间的统一性时借鉴与尝试．     

一道高考模拟试题的解法深度探究及应用

圆锥曲线焦点弦问题研究的是直线与圆锥曲线的位置关系,是数形结合思想和划归转化思想的重要体现.而这个特殊的位置关系背后蕴藏着一些不变的代数性质,一些简洁的运算结论,是培养学生核心素养的绝佳载体.恰逢处于高中二轮复习阶段,圆锥曲线焦点弦问题在近期高考模拟试卷中频繁出现,在新课标全国卷的小题中也得到了充分重视和体现.因此,对圆锥曲线焦点弦问题继续挖掘和探究是必要的.文章以2022年八省联考（T8联考）数学试卷第8题为例,利用弦长公式、韦达定理、特殊化思想、极限思想等,探究了圆锥曲线焦点弦的性质,并应用这些性质研究了高考与模拟考试中的焦点弦问题的解法,为解决焦点弦问题提供了新思路,由此培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养,实现高效复习.     

圆锥曲线中弦的中点的轨迹问题

圆锥曲线中由“弦”展开的问题层出不穷，高考中常见的有：弦长问题、与弦的中点有关的对称问题、弦的中点的轨迹问题等．这些问题集中展示了解析几何的主要解题思想和方法，综合考查了直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的主要内容，因而倍受高考青睐．其中弦长问题、与弦的中点有关的对称问题，已被大家熟知，本文欲对其中的“弦的中点的轨迹问题”做一解法归类．     

直线与圆锥曲线问题回头望

直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线与方程中的重点内容,特别是公共点．弦长及最值等方面的内容更是本章的热点．本文就直线与圆锥曲线的交点问题、相交弦中点问题、弦长问题等三个方面进行说明．     

圆锥曲线对称轴上与定点弦有关性质的探究

圆锥曲线是圆、椭圆、双曲线和抛物线的统称,它是平面解析几何研究的主要对象．在直线与圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中尤以过定点弦的问题更是五彩缤纷,本文就圆锥曲线对称轴上定点弦相关性质做一点探究．     

思索圆锥曲线在对立统一中的发展——赏析圆锥曲线焦点弦的性质

三大圆锥曲线,从唯物辩证法的角度看是相互对立的,但又是相互统一的。他们有一个统一定义,这是统一性;同时又有各自的特殊性,这又是对立性。根据唯物辩证法,三大圆锥曲线的性质很多情况下是同时出现的,同时李成波、陈广权、邹书生也都给出很多统一的性质,证明了这一事实。本文中,本人对圆锥曲线焦点弦的性质作了研究,得到圆锥曲线焦点弦的几个性质,现写成下文,以供大家参考。     

浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用

圆锥曲线问题是高中数学的难点之一,圆锥曲线的弦的中点有关问题是常考查的内容．解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,过程繁琐,计算量大．“点差法”是由弦的两端点坐标代人圆锥曲线的方程,得到两个等式相减,可得一个与弦的斜率及中点相关的式子,再结合有关条件来求解．     

变换思想在圆锥曲线教学中的体现

利用变换思想,对圆锥曲线教学中的一道例题进行分析,得出了各种圆锥曲线的焦点弦,并引伸其结论,将圆锥曲线的焦点弦变换为中心弦.再在已有结论的基础上,进行变换创新,利用推导焦点弦和中心弦的方法,探索总结出证明顶点弦的命题,以体现变换思想在圆锥曲线中的综合应用,强化学生的变换思想意识,培养学生利用变换思想提出并解决问题的能力.     

圆锥曲线与焦点弦有关的一个统一性质

笔者在研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与焦点弦有关的一个统一性质,现介绍如下．     

圆锥曲线、弦、弦中点

直线与圆锥曲线的位置关系中,若直线与圆锥曲线有两个交点则直线被截得一段弦．由联立方程,韦达定理或点差法可以发现——弦、弦中点、圆锥曲线三者之间有密切的联系,知其二必知其三．现以椭圆为例,用点差法说明以下几种情况．     

圆锥曲线焦点弦长的三角计算公式

我们知道，圆锥曲线上一点与焦点的连线称为焦半径．因此，圆锥曲线的一条焦点弦被该焦点分成两条焦半径（焦点可以是内分点，也可以是外分点）．在旧版高中教材中，用圆锥曲线的极坐标方程研究焦半径和焦点弦是比较方便的．现行新教材删去了极坐标内容，但我们仍然可以用新教材的观点和方法推导出使用方便、记忆简单的焦半径和焦点弦的三角形式的公式．     

圆锥曲线上两点关于直线对称问题的解法

圆锥曲线上两点关于直线对称问题是高考命题的一个热点问题,该问题集中点弦、垂直、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程函数不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体,符合在知识     

与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论

众所周知,焦点弦的性质能够体现圆锥曲线的几何特征,是研究圆锥曲线时的主要对象之一,在历届高考中也占有重要的地位．笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角口、焦点分焦点弦所成的比A以及圆锥曲线的离心率e之间的关系得出一个优美结论,并结合高考试题彰显出它的重要作用,希望能和读者共勉．     

圆锥曲线焦点弦为直径的圆的一个性质

笔者在研究圆锥曲线时,发现以圆锥曲线任意两焦点弦为直径的两圆的公共弦所在直线的一个性质,现介绍如下．     

圆锥曲线与“轴定点弦”中垂线有关的一个性质

过圆锥曲线对称轴上一定点作直线与圆锥曲线交于A,B两点,则称线段AB为此圆锥曲线的“轴定点弦”．关于圆锥曲线的“轴定点弦”的垂直平分线（简称“中垂线”）,笔者发现它有如下一个性质．     

高考焦点弦问题的分类解析

经过圆锥曲线焦点且被圆锥曲线截得的线段叫做圆锥曲线焦点弦．它是一个非常重要的几何量,是圆锥曲线的的一个关注点,也是高考的重点和热点,长考不衰,角度常变,题型形式多样,可谓考试长青树．此类题型,涉及知识面广,将焦点弦长度问题、焦点分弦问题和向量有关知识综合在一起,     

解几之位置关系探秘

直线与圆锥曲线的交点个数、相交弦及其综合运用等问题可转化为它们对应的方程所构成的方程组是否有解或解的个数问题对于相交弦长及弦的中点问题要学会“设两不求”：对于焦点弦的问题要会利用圆锥曲线的焦半径公式进行求解．     

圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用

圆锥曲线的弦长问题是解析几何的重点问题之一，由于直线与圆锥曲线方程表达形式的多样性，下面给出圆锥曲线弦长公式的五种不同的表达形式．     

焦点弦倾斜角和长度的向量形式

经过圆锥曲线焦点且被圆锥曲线截得的线段叫做网锥曲线焦点弦．它是一个非常重要的几何量,是圆锥曲线的一大手笔,也是高考的重点和热点,常考不衰,考查角度常变,题型形式多样,可谓考试常青树．此类题型,涉及知识面广,常常将向量的有关知识与焦点弦的倾斜角和长度联系起来,作为高考解析几何压轴题,旨在考查考生的逻辑推理能力和综合运算能力．此类题考生失分严重,故值得我们深入总结和分析研究,为此,本文介绍焦点弦的倾斜角和长度的向量形式,供读者参考．