一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一个角平分线不等式的加强

一个角平分线不等式的加强３５００１５福州二十四中杨学枝笔者在文［１］中曾给出以下定理设面△ＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应的角平分线长分别为ｔａ、ｔａ、ｔｃ，则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．本文仍采用文［１］中...     

一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

关于角平分线的一个不等式

关于角平分线的一个不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）关于△ＡＢＣ中三条角平分线ｔａ，ｔｂ，ｔｃ与其外接圆半径Ｒ、内切圆半径ｒ，笔者已建立了如下关系［１］当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号。笔者研究过的上界．得到以下定理设△ＡＢＣ三边长...     

问题征解

编者按　杨学枝老师提出下述四个猜想，并自费为之设奖．对最先完整给出解答者，每一题奖给５０元，奖金由杨学枝直接寄给解答者（解答请寄３５００１５福建省福州市第二十四中学）．正确解答将在本刊刊出．猜想　在非钝角△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ｍａ、ｍｂ、ｍｃ与ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的中线与角平分线．１．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥λ（ｍｂ－ｍａ）（ｍｃ－ｍａ）成立的最大常数λ．猜想λｍａｘ＝４９（３－２２）（７＋２１０）；２．若ａ最大，试求使不等式（ａ－ｂ…     

椭圆中最值问题错解析因

问题　Ｆ1 、Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 )的左、右焦点 ,过焦点Ｆ1 作弦ＡＢ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,求△ＡＢＦ2 面积的最大值 .错解　由椭圆的定义知|Ｆ1 Ｂ| + |Ｆ2 Ｂ| =2ａ ,|Ｆ1 Ａ| + |Ｆ2 Ａ| =2ａ ,∴　△ＡＢＦ2 的周长 2 ｐ =4ａ ｐ =2ａ .据海伦———秦九韶公式知Ｓ△ＡＢＦ2 =ｐ·( ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ)≤ｐ·( ｐ3 ) 3=3·ｐ29=439ａ2 ,∴　△ＡＢＦ2 的面积的最大值为439ａ2 .剖析　忽视了等号成立的条件 ,ｐ -ａ =ｐ-ｂ =ｐ -ｃ即△ＡＢＦ2 为正三角形时 ,等号取得 .设Ｂ1 是椭圆短轴的一个端点 …     

关于∑（t_b*t_b)／bc的上界

关于∑（ｔ_ｂ*ｔ_ｂ)／ｂｃ的上界３５００１５福州二十四中杨学枝本文将采用以下通用记号：ΔＡＢＣ三边的长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其外接回半径与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的内角平分线长分别为ｔａ、ｔｂ、ｔｃ，∑表示循环和，∏表示循环...     

以三角形的三边构图的数学名题

题 1　 (拿破仑定理 )以△ＡＢＣ各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明　如图 1,等边△Ａ′ＢＣ、△ＡＢ′Ｃ、△ＡＢＣ′的中心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,连结ＢＢ′ ,ＣＣ′ .∵　∠ＢＡＢ′ =∠ＣＡＣ′ =∠ＢＡＣ +60° ,∴　△ＢＡＢ′≌△Ｃ′ＡＣ .故　ＢＢ′ =ＣＣ′.同理可得　ＡＡ′ =ＢＢ′ =ＣＣ′.记△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ,连结ＢＯ1 、ＢＯ3,则ＢＯ1 =33 ａ ,　ＢＯ3=33 ｃ .∴　 ＢＯ1 ＢＯ3=ＢＣＢＣ′=ａｃ.又　∠Ｏ1 ＢＯ3=∠…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

不等式研究成果集锦(1)

［编者按］　本刊从现在起,每逢双月将陆续刊出在《不等式研究通讯》（中国不等式研究小组主办,内部交流）上刊出的部分有关不等式研究方面的新方法、新成果,仅刊出其结论,详证请查阅原出处（以下行文作者后面的数字即该文在《不等式研究通讯》的刊期数）．文中“∑”、“∏”分别表示循环和、循环积．１．设△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边、面积、外接圆半径、内切圆半径分别为ａ、ｂ、ｃ与ａ′、ｂ′、ｃ′,△与△′,Ｒ与Ｒ′,ｒ与ｒ′．并记　Ｈ＝ａ′２（－ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋ｂ′２（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２…     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

数学问题解答

20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366　如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学　沈建平　 2 1 5 0 0 6)证明　设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

涉及三角形折中点的一个性质

设Ｆｘ为△ＡＢＣ的三边ａ,ｂ,ｃ中除ｘ边的另两边所在折线的中点,称Ｆｘ为相对于ｘ边的折中点．对于△ＡＢＣ的折中点,有如下 定理 如图 １,设Ｆｘ是△ＡＢＣ的折中点,Ｉｘ是△ＡＢＣ中ｘ边对角的平分线与ｘ边的交点,ｘ∈｛ａ,ｂ,ｃ｝,ａ≥ｂ≥ｃ,则ＦａＩａ、ＦｂＩｂ、ＦｃＩｃ三线共点的充要条件是ａ＝ｂ或ｂ＝ｃ． 定理的证明需用到如下引理： 引理 １ 条件同定理,则ＩａＩｂ／／ＦａＦｂ且 证明 如图１,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 ２ 如图２,Ｐ,Ｑ为△ＡＢＣ边ＡＢ,ＡＣ上的点,ＰＱ ／／ ＢＣＪ…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

IMO41—2命题背景探秘

第 4 1届 (2 0 0 0年 )国际数学奥林匹克试题第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ是满足ａｂｃ=1的正数 ,证明 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1(1)我们猜测 ,该题是以 1983年瑞士数学奥林匹克试题第 2题为背景编制的 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,证明 :ａｂｃ≥ (ｂ ｃ-ａ) (ｃ ａ -ｂ) (ａ ｂ -ｃ) (2 )事实上 ,将 (2 )式变形 ,可得(ｂａ - 1 ｃａ) (ａｃ - 1 ｂｃ) (ｃｂ - 1 ａｂ)≤ 1,于上式 ,令 ｂａ =ａ′ ,ａｃ =ｂ′ ,ｃｂ =ｃ′,则ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′为满足ａ′ｂ′ｃ′ =1的正数 ,并成立(ａ′ - 1 1ｂ′) (ｂ′ - 1 1ｃ′) (ｃ′ - 1 1…     

新教材中一道例题的价值

在新教材高一 (下 )Ｐ10 7中有这样一道例题 :图　 1如图 1,ＯＡ ,ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ (ｔ∈Ｒ ) ,用ＯＡ ,ＯＢ表示ＯＰ .如果设ＯＡ =ａ→ ,ＯＢ =ｂ→ ,ＯＰ =ｐ→ ,那么本例题的结果为 :ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .笔者发现公式 ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .不但简捷、整齐 ,而且稍加变形就与解析几何中的分点坐标公式相似 .1　例题的潜在价值　按解析几何中的习惯 ,设λ =ＡＰＰＢ (Ｐ为有向线段ＡＢ的分点 ,λ为有向线段ＡＰ ,ＰＢ的数量比 ) ,如图 1,Ｐ为外分点 ,λ <0 ,所以λ =ＡＰＰＢ=- |ＡＰ||ＰＢ| =- |ＡＰ||ＡＰ| - 1ｔ|…