半外切圆及其性质

半外切圆及其性质熊光汉（湖北恩施市教研室４４５０００）与三角形的外接圆相外切，又与三角形两条边所在的直线相切的圆，称为三角形的半外切圆．半外切圆有一系列有趣的结论．预备知识：三角形的外接圆半径为Ｒ，旁切圆半径为ｒａ，则有证明如图１，旁切圆Ｉ与△ＡＢＣ...     

抛物类二次曲线外切多边形中有向面积的定值定理及其应用

利用有向面积定值法,对抛物线外切多边形中的对角线三角形和切点三角形之间的关系进行研究,得到抛物类二次曲线外切n边形(n≥4)中有向面积的一个定值定理,并据此推出抛物线外切多边形中三线共点的点多达n(n-3)个,以及射影几何中著名的Brianchon定理等结论.     

利用凸函数的性质证明一个最值问题

利用凸函数的Jensen不等式．证明圆的所有内接多边形中,以正多边形的面积最大;圆的所有外切多边形中,以正多边形的面积最小．     

求动圆圆心轨迹的规律性解法

动圆指圆心和半径都在动的圆，在我们常见的有关求动圆圆心的轨迹题中，这儿种条件是经常出现的：1)过定点；2)与定直线相切；3)与定直线相交所得弦长为定值l:4)与定圆相切(包括外切和内切)。     

一类多边形的几何特征

本文约定:满足1a2 1b2=1的椭圆(长半轴长a,短半轴长b)称为标准椭圆;以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆,其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆.文[1],[2]证明了与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切的三角形不存在.本文确定与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切     

圆趣

圆A的半径为1,圆B的半径为4,并且两圆外切,它们的公切线为EF,切点分别为E、F,求阴影部分中最大圆的半径(如图1).解设阴影部分中最大圆C的半径为x,则圆C与圆A和圆B都外切也和直线EF相切,作AD∥EF,过     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

圆与三角形结合的又一结果

圆、三角形是几何的基本图形,也是我们认识许多其他图形的基础．三角形与圆的关系一般研究、讨论较多的是三角形与它的内切圆的关系与性质,三角形与它的外接圆的关系与性质,或三角形一条边与一个圆外切的关系与性质,而同时讨论三角形的三条边与三个外切圆的关系则较少涉及到,经过探讨,笔者推导一个三角形三边与它们的外切圆关系的结果并证明之．     

一个与半外切圆有关的不等式链

一个与半外切圆有关的不等式链李平龙（江苏省灌云县中学２２２２００）本文建立一个与半外切圆［１］有关的几何不等式链如下，它恰好加强了三角形中著名的欧拉不等式Ｒ≥２ｒ．定理记△ＡＢＣ的内切国、外接回半径分别为ｒ，Ｒ；设与△ＡＢＣ的两边所在射线ＡＢ，ＡＣ，...     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

平面图形的等积变换

把紧密相连的圆环构成的圆盘以渐开线展开成等面积的直角三角形,得出了较为直观的由周长和半径表示的圆面积公式.更一般地可以得出:圆扇形由弧长和半径表示的面积公式,面积与其弧长的原函数关系;圆扇形与三角形之间、圆扇环形与梯形之间进行的等积变换,以及它们中弧长半径和边角间的对应关系,而对于曲边是变曲率的曲边扇形不具有这些关系和结论.     

圆内接多边形的一个性质

笔者研究发现,圆内接多边形有如下一个美妙性质. 设A_1 A_2 """A_n为圆内接n边形(n≥4),画n-3条对角线将这个n边形分割成n-2个三角形(这些对角线在多边形内部没有交点),则无论如何分割,所得到的n-2个三角形的内切圆半径之和是一个定值.     

一个"数学问题"的简解与推广

《数学通报》2006年第4期刊登的第1609号问题是:问题1609:求内切圆半径为1的三角形面积的最小值.问题提供人给出的解法[1]较曲折复杂,而且不易推广.本文给出一种简洁解法,并将结论推广至任意的圆外切多边形.图1问题的简解如图1,设ΔABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,其内心为I.     

相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下： 定理1 若正三角形的边长为a，以其中心为圆心的圆半径为r．则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值．     

Brianchon定理在二次曲线外切2n边形中的推广

利用有向面积方法,对二次曲线外切2n边形(n≥2)进行研究,得到二次曲线外切2n边形(n≥2)中有向面积的几个定值定理及其推论,从而把射影几何中著名的Brianchon定理推广到二次曲线外切2n边形的情形.     

一个几何式不等的导数证法

设Pn，qn分别为内接于、外切于半径为R的圆的正n边形的周界，证明：2/3pn＋1/3qn〉2πR．     

两道课外练习题的简证

<正>《中学生数学》2020年2月下(初中版)课外练习初三年级第3题:如图1,半径为R的☉A与半径为r的☉B相外切,以AB为直径作☉M,又半径为θ的☉C与☉A、☉B相外切,与☉M相内切.求证:1/R+1/r=1/(2θ).分析在原解答中,首先要添加辅助线,其次要用到平行四边形的边长和对角线长公式才能证明,其实这些都不必要,只用三角形中线长公式即可证明.     

椭圆焦三角形的若干性质

椭圆焦三角形的若干性质石国强（江苏省海门中学２２６１００）为叙述方便，定义椭圆上某一点与两焦点所构成的三角形为焦三角形，焦三角形的顶点中，位于椭圆上的那个顶点称为非焦顶点．性质１椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与椭圆长轴为直径的圆相切．证明如图（...