关于亚纯函数与其各级导数的公共波莱耳方向问题的一些结果

若 f(z)为有穷正级的亚纯函数,则 f(z)的每一条 Borel 方向或者是 f~(n)(z)(n=1,2,…)的Borel 方向,或者是(1/(f(z)))~(n)(n=1,2,…)的 Borel 方向;用此结果简化了张广厚一个结果的证明:有穷正级亚纯函数若以一个有穷值为 Borel 例外值,则函数的每条 Borel 方向也是有各级导数的 Borel 方向;同时还得到:若 f(z)为有穷正极的亚纯函数,且(?)(log+m(r,f))/(logr)=ρ-ε_0,ε_0>0则 f(z)的每一条 Borel 方向必是 f~(n)(z)的 Borel 方向(n=1,2…)。     

分担多项式的亚纯函数(英文)

在本文中,亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数.本文是利用复分析的值分布理论来研究亚纯函数的唯一性.设f(z)和g(z)是两个亚纯函数,当fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1或者z CM时,前人给出了下面的定理:定理A设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数,n≥11是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1CM,则f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,这里c1,c2和c是3个常数且满足(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.定理B设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数(整函数),n≥11(n≥6)是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担z CM,则f(z)=c1ecz2,g(z)=c2e-cz2,这里c1,c2和c是3个常数且满足4(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.在本文中,我们推广了上述定理,证明了下面的结论:设p(z)为n1次多项式,f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,n≥max{11,2n1+2}是一个正整数,如果fn(z)f...     

涉及极点重数的亚纯函数的唯一性

应用值分布理论研究了涉及极点重数的亚纯函数的唯一性问题 .得到了下述结论 :①设m ,n >9+ 7m 是 2个正整数 ,则存在一个集合S ,#S =n ,对于任意一对非常数亚纯函数f(z)与g(z) ,如果f(z)与g(z)的极点重数至少是m ,且满足条件 E(S ,f) = E(S ,g) ,则f≡g ;②设k≥ 3,m ,n >6+ 4m 是 3个正整数 ,则存在一个集合S ,#S =n ,对于任意一对非常数亚纯函数f(z)与g(z) ,如果f(z)与g(z)的极点重数至少是m ,且满足条件Ek(S ,f) =Ek(S ,g) ,则f≡g .上述结论推广并改进了H .X .Yi,M .L .Fang和H .Guo等人的一些已知结果 .     

亚纯函数的一个不等式的证明及其应用

证明了一个关于亚纯函数的不等式,并用此不等式研究了与Hayma的一个结果密切相关的一类亚纯函数的值分布问题,得到了如下结果:如果f(z)为超越亚纯函数,m,n和k都为正整数,且m≥2,n≥2,f(z)的所有零点的重数至少为k,φ(z)是f(z)的一个不恒为零的小函数,则fm(f(k))n-φ(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.     

关于亚纯函数的正规增长性

本文得到了如下结果:设 f(z)是开平面上的亚纯函数,a_i(z)(i=1,2,…,n(f),n(f)≤∞)为满足 T(r,a_i(z))=o{T(r,f)}的亚纯函数,如果 sum from i=1 to n(f) δ(a_i(z),f)=2;且存在 a_k(z)(1≤k≤n(f))有δ(a_k(z),f)=1,则 f(z)是正规增长的.且当 f(z)的下级无穷时其级为正整数.     

超越代数体函数与其亏函数的关系

设f(z)为(1)式定义的n值超越代数体函数,如存在n+1个亚纯函数φ_i(i=0,1,…,n),满足: ?? 则f(z)的级为正整数或无穷且正规增长.     

关于亏函数的∑δ(a(z),f)≤2的简化证明

1983年,美国Osgood给出了亚纯函数f(z)涉及其亏函数的∑δ(a(z),f)≤2的证明,解决了值分布论中这个重大问题。本文则引进亚纯函数的微分多项式用Q_N~*代替f′,按处理亏值的通常方法,得到∑δ(a(z),f)≤2。本文证明了存在微分多项式O_N~*(≠0),使对n=1,2,…,p有     

IM分担一个值的亚纯函数的唯一性

运用亚纯函数的值分布理论研究了亚纯函数IM分担一个值的唯一性.获得如下结果：设f与g为非常数的亚纯函数,n≥２３为正整数,若fｎf′与gng′IM分担1,则f=tg,其中ｔ为常数,tn+1=1;或者f(z)=c２e-cz,g(z)=c１ecz,其中c,c１,ｃ２是常数满足（c１ｃ２）n+1c２=-1.     

关于Gross问题的一个结果

研究了亚纯函数的惟一性 ,得到了如下结果 :设S1 =0 ,n -1n ,S2 ={z:zn-zn- 1 -1=0 },n为正整数 ,且n≥ 3 ,f(z) ,g(z)是任意两个非常数亚纯函数 .如果E(Si,f) =E(Si,g) ,(i=1,2 ) ,E1 (∞ ,f) =E1 (∞ ,g) ,且δ(∞ ,f) >12 ,δ(∞ ,g) >12 ,则f(z)≡g(z) .这个结果解决了Gross问题的一个结论     

关于亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布

设k和n0,n1,…,nk为任意的非负数,函数f(z)是复平面上超越亚纯函数,函数φ(z)为f(z)的小函数,且φ(z)≡ / 0.超越函数M[f]＝(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk.该文讨论了超越亚纯函数φ(z)f(z)M[f]值分布,提出一个新的定理,并进行了较为详细的证明.     

一类高阶分差分方程亚纯解的性质

利用 亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的差分模拟, 研究了非线性高阶差分方程$ P_{1}(z)\prod_{i=1}^{n}f(z+c_{i})=P_{2}(z)f(z)^{n} $ 亚纯解的零点,极点收敛指数和增长级,其中$n$是一个正整数,$c_i(i=1,...,n)$是非零复常数, $P_1(z),P_2(z)$是非零多项式.在给定条件下,得到了这类差分方程亚纯解的增长级的精确估计.     

亚纯函数(φ)(z)f(z)M[f]的值分布

设k和n0,n1,…,nk为任意的非负数,f(z)是复平面上超越亚纯函数,(φ)(z)为f(z)的小函数,(φ)(z)(≠)0,M[f]=(f(z))n0(f＇(z))n1…(f(k)(z))nk.讨论了亚纯函数(φ)(z)f(z)M[f]值分布,提出一个新的定理,并进行了较为详细的证明.     

非线性微分方程解的唯一性

运用Nevanlinna值分布理论,研究亚纯函数的唯一性问题。若f(z)为f 'f=F(z)的有限级亚纯解,其中F(z)为非零整函数且λ(F(z))< 1,当f(z)与有限级亚纯函数g(z)CM分担0、1、∞,则f=g。如果f(z)为f '+A(z)f ⁿ=F(z)的一个有限级亚纯解,其中A(z)为不等于0的多项式,F(z)为非零整函数且λ(F(z))< 1, A(z)≠F(z),若有限级亚纯函数g(z)与f(z)CM分担0、1、∞,则f=g。     

关于亏函数的∑δ(α(Ζ),f)≤2的简化证明

1983年,美国 Osgood 给出了亚纯函数f(z)涉及其亏函数的Σδ(a(z),f)≤2的证明,解决了值分布论中这个重大问题。本文则引进亚纯函数的微分多项式用Q_N~*代替f′,按处理亏值的通常方法,得到Σδ(a(z),f)≤2。本文证明了存在微分多项式Q_N~*(■0),使对n=1,2,…,P有这里对所有e(f):{1,…,N}→{1,…,2l}(l仅依赖于N),k(j):{1,…,N}→{1,2}求     

关于公共Borel方向的一些讨论

设f(z)为有限正级的亚纯函数,B:argz=θ是f(z)的一条Borel方向,本文给出B是f’(z)和f~(n)(z),n=1,2,…的Borel方向的充分条件。     

涉及分担值的整函数的微分多项式的唯一性

为获得2个函数之间的关系,运用亚纯函数的值分布理论,研究整函数的唯一性.主要证明了:设f(z)和g(z)是2个超越整函数,k,n为正整数,且满足n≥2k+11,若[fn(f2-1)](k)和[gn(g2-1)](k)以1为IM公共值,则f(z)≡g(z).     

亚纯函数分担多项式的唯一性

研究了亚纯函数分担多项式的唯一性问题,得到了:设f(z)和g(z)为超越亚纯函数,p(z)((≠)0)为一多项式函数,n和m(≥2)为两正整数满足n≥3m+11,如果f n(f m-1)f '-p和g n(gm-1)g '-p CM分担0, 则f≡g或者f≡-g.     

亚纯函数和q-差分多项式分担一个值的唯一性

本文研究超越亚纯函数与其q-差分多项式分担一个值的唯一性理论.设f(Z)为具有有限多个极点的零级超越亚纯函数,对任意n,k∈N,若f~n(z)-Q_1(z),[f(q_1z)f(q_2z)...f(q_nz)]~((k))-Q_2(Z)分担0IM并且f~n(z),f(q_1z)f(q_2z)…f(q_nz)分担0CM,此处q_i(i=1,2,…,n)为非零复常数,Q_1,Q_2为两多项式且满足Q_1Q_2?0.如果n≥k+2,则[f(q_1z)f(q_2z)…f(q_nz)]~((k))≡Q_2(z)f~n(z)/Q_1(Z).     

几个亚纯函数的唯一性定理

自R.Nevanlinna之后，Gross,Yang,Ueda，杨乐，仪洪勋等人对亚纯函数唯一性问题进行了广泛 ，深入的研究，并且提出了确定亚纯函数唯一性的种种条件，这些条件都要计及公共值点的重数，本文借助于[1]中使用的方法，得到了亚纯函数的几个唯一性定理。这些定理的条件都无须计及公共值点的重数，根据这些定理，对于亏函数满足一定条件的亚纯函数f1(z)与f2(z)，只需对三个或四个判别的复数a，使得f1(z),f2(z)在相同的点集上取相同的a值，就是以保证f1(z)=f2(z)。     

具有三个公共值集的亚纯函数的唯一性

讨论了亚纯函数的唯一性问题 ,得到如下结果 :设S ={z|azn-n(n - 1)z2 + 2n(n - 2 )bz -(n - 1) (n - 2 )b2 =0 } ,其中n(>4 )是一个整数 ,a和b是两个非零复数 ,且满足abn - 2 ≠ 2 .如果f与g为非常数亚纯函数 ,且满足E(S ,f) =E(S ,g) ,E({∞ } ,f) =E({∞ } ,g) ,及E({ 0 } ,f) =E({ 0 } ,g) ,则f =g ,或 (f-b) (g -b) =b2 .