一个数学定理是怎样被误读的?

一般五次方程根式不可解的证明是近代数学史的一个里程碑事件,在这个定理的证明中,鲁菲尼-柯西定理占据着核心地位,因此,在众多数学史著作中,常常会引述鲁菲尼-柯西定理。但是,由于柯西原文的描述容易引起误解,导致后世数学史家对鲁菲尼-柯西定理给出了三种意思相左的释读,以至于谬种流传,在数学史著作中造成了混乱。通过追根溯源,梳理了对这个重要定理产生误读的历史脉络。这一个案研究,反映了一些近现代数学史研究存在的一些不良现象：缺乏对原始文献的文本分析,望文生义,以至以讹传讹。     

函数连续性概念的历史:从欧拉到勒贝格

函数是数学中的一个基本概念,连续性是函数的重要性质之一。函数连续性概念源于几何直观,受函数为解析表达式概念的限制,函数的连续性一开始被看成是解析法则的不变性。随着函数概念的发展,并顺应分析学严格化发展的潮流,柯西将连续意味着不间断的几何观念用精确的分析学定义表述出来,从而给出了现代意义下的函数连续性,最终魏尔斯特拉斯给出了现行的ε-δ定义。对函数连续性概念演变过程的研究可以为反观分析学严格化历程提供一个窗口。     

高斯建立绝妙定理的历史过程

现代微分几何学与古典微分几何学的重要区别在于前者关注内蕴的几何对象以及内蕴的几何性质。带来这一历史转折的是高斯绝妙定理,高斯所发现和证明的绝妙定理使得高斯关注曲面的内蕴性质,并进而导致内蕴几何学的建立。高斯建立绝妙定理的过程是高斯内蕴几何学起源的最重要线索。但目前关于绝妙定理建立过程的历史研究,最多给出高斯相关工作的年谱。在研究原始文献和相关研究文献基础上,梳理高斯关于绝妙定理相关工作之间的历史关联,还原高斯发现和证明绝妙定理的过程,提出并回答关于绝妙定理的几个历史问题。     

对波莱尔关于函数奇点问题的思想研究

利用函数的泰勒展开研究函数奇点问题是函数解析开拓理论研究的重要课题。文章基于原始文献．深入探讨了波莱尔在函数奇点研究方面的有关工作，特别是对“函数奇点乘积的阿达玛定理”和“泰勒展开一般以收敛圆为割线”问题进行了深入研究，探讨其思想的演变过程及在当时的重要影响。该研究对客观评价波莱尔在函数奇点方面的工作有重要价值，对了解函数奇点理论的历史发展有重要意义。     

作为数学革命的形式化证明

随着计算机科学的兴起,数学家可以通过计算机完成对数学定理的证明与验证,由此形成了形式化证明的相关领域。在形式化证明的助力下,诸多数学难题得以攻破,这无疑改变了传统数学实践的范式。然而,学界对于形式化证明所引发的认识论转向的论述尚不充分,究其原因主要有两个方面：其一是缺乏对形式化证明的本体论考察,其二是对数学革命的定义存在分歧。对形式化证明中人脑证明和机器证明进行区分,同时厘清两种不同的革命定义,可以为形式化证明作为数学革命的观点提供辩护。     

Brouwer不动点定理

研究与总结了通过基本群、同调群分别给出低维、高维情形下Brouwer不动点定理的证明.     

算法、图灵机、哥德尔定理与知识的不确定性

知识论一直是在寻求对知识的确定性作一般算法式的逻辑证明的辩护。然而，即使在处理抽象的数量概念的数学基础研究中，也不能达到最终逻辑证明的确定性。图灵对停机问题的算法步骤的否定回答、哥德尔定理对真理的“不可证明性”的确立，使我们不得不面对知识中逻辑证明背后不确定性的东西。     

侯世达的层次区分及意义获取理论探析——兼对哥德尔与卢卡斯反计算主义观点的批驳

侯世达认为哥德尔证明的核心在于"自指"或"怪圈",他在阐述哥德尔定理的基础上提出了层次区分及意义获取理论,认为形式系统具有层次结构,而这种层次结构正是意义产生的根源。侯世达的这一理论指出了那些用哥德尔不完全性定理来反对计算主义的观点是不成立的,计算主义并没有因为哥德尔不完全性定理的存在而被驳倒,反而在侯世达理论的启发下,计算主义拥有了更为坚实的基础。     

数学机械化思想的产生和发展

数学问题的机械化方法一般表现为机械化程序，而具有确定性、预见性、普适性和具体性的特点。数学机械化又是创造性思维和非创造性思维活动的统一。数学机械化思想来源于中国古算，并从笛卡尔著作中找到根据，其产生和发展主要经历了从笛卡尔，莱布尼兹等数学家和哲学家的思想奠基，到希尔伯特定理证明机械化思想从理论上的明确提出，再到定理的机器证明等几个重要的发展阶段，吴文俊机械化定理的创立。为数学的机械化奠定了坚实的基础，并使数学研究的面貌改观。但数学机械化的道路漫长而艰难，建立具有中国特色的机械化数学体系依然任重而道远。     

论古代科学发现优先权的确立原则与判定标准——以勾股定理与毕达哥拉斯定理的发现为例

通过对勾股定理与毕达哥拉斯定理发现与证明方法比较,考证了中西方对勾股定理的发现均符合现代科学发现的定义,提出了中国与西方几乎同时独立发现勾股定理。根据时间敏感性差异原理,指出了古代科学发现优先权的确立原则和判定标准,中西方这种独立的发现开辟了中西方科学发展的不同模式。     

本原方程研究的早期历史：从伽罗瓦到若尔当

伽罗瓦开启了本原方程可解性问题的研究，但并未完成，且其中包含一个错误定理。若尔当将可解本原方程的研究转化为可解本原置换群的研究，为伽罗瓦的结果补充了证明，揭示了伽罗瓦定理的错误。伽罗瓦的错误定理引致了可解方程的错误分类，若尔当对此提出了解决方案。通过讨论伽罗瓦研究本原方程的背景和动机，若尔当对伽罗瓦错误的发现与修正，以及伽罗瓦工作的发展，梳理1860年代以前从伽罗瓦到若尔当本原方程研究的早期历史，探析其影响和意义。该研究对19世纪代数学发展的主题转向影响深远，以此可以剖见数学被创造出来的一种方式。     

卡尔达诺关于三次方程的特殊法则

基于对卡尔达诺关于三次方程的一般法则和《大术》第6章的命题的分析,复原了卡尔达诺关于三次方程的17条特殊法则的构造过程,由此揭示出隐藏在这些法则背后的数学思想和方法,阐明了卡尔达诺对这些法则所作的模糊暗示的意义,并指出其综合叙述方式与这些法则的构造过程并不完全一致。另外,根据对这些特殊法则的适用范围的分类讨论,认为卡尔达诺构造这些特殊法则的目的并非专为解决三次方程的不可约情形。     

弗雷格定理的再发现、证明及其哲学意义

弗雷格定理是弗雷格的研究者试图修正和重构弗雷格的不一致的逻辑－算术系统的结果。弗雷格定理表明，撇开弗雷格关于数的显式定义，从其系统中清除“外延”和“值域”的术语，直接从休谟原理出发，把它作为唯一的非逻辑公理加入到标准的二阶逻辑系统中，可得到一个一致的系统且二阶皮亚诺算术公理在此系统中是可证明的。本文讨论弗雷格定理的再发现和证明并以此反观弗雷格的逻辑主义，研究能否纯逻辑地回答数是什么这一问题。     

根岑逻辑演绎思想的主要特征和哲学影响探析

论文在梳理根岑如何从逻辑公理化思想出发发展出自然演绎和矢列演算思想的基础上,总结出根岑逻辑演绎思想的主要特征。根岑对联接词引入和消去规则各自角色的理解及其采取的树形证明方式引导他发现并证明了切割消去定理。最后指出根岑的逻辑演绎思想对证明论语义学和意义理论有重要应用和哲学影响。     

大魔群的历史与发展

有限单群分类定理的证明是本世纪初取得的一项重大成就.作为有限单群中最大的散单群,大魔群自20世纪70年代就以其复杂的结构和迷人的性质受到广泛关注.文章介绍了人们对大魔群求索与认知的过程,分析了它与数学其他学科乃至物理学的关系.     

卡尔达诺关于四次方程特殊法则的构造原理——兼论数学史的研究范式

复原了卡尔达诺关于四次方程的4条特殊法则的构造过程,指出这4条形式差异很大的法则所采用的相同的构造方法,由此揭示了这些法则的真正涵义和它们通过命题的形式所表达出的数学内容并不相同,同时也解释了卡尔达诺为什么能得到这些法则.对这一构造过程的复原体现了曲安京所概括的三种数学史研究范式之间的联系.     

质量互变定理用于识别可拓学与集对分析的基础性错误

本文根据2007年笔者创立的可变集及其辩证法基本规律数学定理，识别可拓学（物元分析）与集对分析的基础性错误。指出可拓学的基础可拓集合关联函数等于零等概念与定义的错误。指出集对分析的中介不确定性等概念与定义，同异反联系度公式计算概率可能性的错误。     

圣彼得堡概率学派和大数定理理论的奠基

圣彼得堡概率学派对大数定理的研究奠定了概率论的理论基础.切比雪夫(Pierre-Simonmarquis de Laplace,1749-1827)的研究动机就是试图应用不等式来精密估计确定试验下极限定理所产生的偏差,于1845年首先严格证明了伯努利大数定理,并于1866年给出一般情形下的切比雪夫大数定理.马尔可夫不满足于切比雪夫所要求随机变量方差值一致有界之条件,进一步改进了切比雪夫的结果,于1907年得到马尔可夫大数定理.圣彼得堡概率学派对大数定理理论的相关研究为概率论发展带来了生机,拓展了概率论的研究领域和发展空间,提升了俄罗斯乃至世界的概率论研究水平.     

兰伯特的几何学思想探析

德国数学家兰伯特在《平行线理论》中通过类比球面提出锐角假设在虚半径球面上成立,这一思想成为后来数学家建立和发展非欧几何的关键.兰伯特在对公理和定义的讨论中体现的几何哲学,使得他证明平行公设时回避了困扰前人的几何直观.他在同时期的数学工作中将圆函数和双曲函数类比,反映出其虚半径球面类比思想的来源和应用.     

科技经济一体化视野中的网络经济

本文从科技经济一体化的角度试图为网络经济的认识提供某种本体论性质的解释，以此为基础提出网络经济需要通过信息技术法则和市场货币法则的结合来理解和认识，网络经济的发展是按照双重法则结合运行的结果，仅仅用信息技术法则或者仅仅用市场货币法则无法完全说明网络经济的基本特征。依据这一观点，文章对新经济和网络泡沫现象进行了分析。