利用方程的两根之比解题——由一道课本习题所想到的

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b²=25ac,证明:设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂则x₁/x₂+x₂+x₁=2/3/2=（13）/6由一元二次方程根与系数的关系知: x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a     

一个公式的证明及其应用

设二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点为A和B,其横坐标分别是方程ax²+bx+c=0的两个根x₁,x₂,则A、B两点间的距离为:|AB|=（?）/|a|下面用两种方法证明公式     

中考题链接 根与系数的关系

根与系数的关系是指:如果x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根,则有x₁+x₂=-b/a、x₁·x₂=c/a,它在一元二次方程的解题中有着重要的作用.在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等     

二次函数表达式的第三种形式——对称点式

二次函数的定义给出了二次函数的表达式——一般式:y=ax²+bx+c（a≠0）,用配方法可以将一般式化成另一种形式——顶点式:y=a（x一h）²十k（a≠0）,我们正是用顶点式详细地研究了二次函数的图象和性质.如果二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（x₁,m）     

一个结论的妙用

如图1,点A（x₁,m）、B（x₂,m）是抛物线y=ax²+bx+c上的两个不同的点,则其对称轴为x=x₁+x₂/2.这个一个显而易见的结论,但却非常有用.由于课本和一般教辅资料中都没有对其进行研究,所以不为同学们所注意,因此在遇到可以应用这个结论来简便解决问题时,不能灵活应用.为此,下面通过典型例题的分析来说明这个结论的妙用.例1（2011年山东省济宁市中考题）已知二次函数y=ax²+bx+c中,其函数y与自变量x之间的部分对应     

二次函数交点式的应用

如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点A（x₁,0）、B（x₂,0）,那么二次函数的解析式可写成y=a（x-x₁）（x- x₂）的形式,其中a是待定系数,这就是二次函数的交点式（或零点式）.下面举例说明这个形式在解题中的应用.     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

二次函数的对称点式的求法应用

用待定系数法求二次函数解析式时,根据条件特点通常选用一般式y=ax²+bx+c或顶点式y=a（x-h）²+k或两根式y=a（x-x₁）（x-x₂）.当条件中有抛物线上的两个对称点（x₁,m）、（x₂,m）时,可设解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）+m.这就是二次函数的对称点式,易知,当m =0时,对称点式就变成为两根式.     

抛物线特殊内接三角形的一个结论及应用

<正>文[1]介绍了抛物线内接三角形的一个结论及其应用．本文在此基础上得到抛物线特殊内接三角形的一个结论，并运用此结论速解相关中考题．一、结论延伸如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与x轴交于点A(x₁,0),B(x₂,0)，其中x₁2．若点M为x轴下方抛物线上一动点，连结AM,BM，则tan∠MAB+tan∠MBA为定值．     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

利用二分法求方程的近似解

知识点一:两个重要结论结论1:如果二次函数f（x）=ax²+bx+c在闭区间[m,n]上满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上有唯一解,即存在x₁∈（m,n）,使得f（x₁）=0,方程f（x）=0的另一解x₂∈（-∞,m）∪（n,+∞）。结论2:如果函数f（x）在区间[m,n]上的图像是连续不断的一条曲线,且满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上至少有一个解。注意点:结论1适用于二次函数,结论2适用于一般函数。     

过不共线三点的圆锥曲线

我们知道,过不共线三点确定唯一一个圆.那么自然会想到,过不共线的三点有多少个椭圆、双曲线和抛物线?本文试图给这个问题做出解答.我们首先来解决抛物线的问题.结论1:设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）是直角坐标系xOy中不共线的三点,且它们的横坐标互不相同,则有唯一的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点.     

代数式求值的三把利器

先看这样一道题:已知x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个根,求代数式（x₁²+2x₁-1）（x₂²+2x₂-1）的值.大多数同学采用以下方法进行的:原式=（x₁x₂）²+2x₁²x₂-x₁²+2x₁x₂²+4x₁x₂-2x₁-x₂²-2x₂+1=（x₁x₂）²+2x₁x₂（x₁+x₂）-（x₁+x₂）²+6x₁x₂-2（x₁+x₂）+1.再以x₁+x₂=-1,x₁x₂=-1代入,计算出结果为-1.由于上述变形较繁,容易出现失误.实际上,本题可利用方程根的定义轻松解决:因为x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是:     

用“相关点”法解含参数的一元二次不等式

<正>解含参数的一元二次不等式ax²+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x2+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x²项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax2项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax²+bx+c=0的根x2+bx+c=0的根x¹,x1,x²的大小来分类,即x2的大小来分类,即x¹>x1>x²,x2,x¹=x1=x²,x2,x¹2。以上分类方法学生不易掌握而且经常出现"二级分     

一道模拟试题解法的改进与拓展

一、问题的提出笔者在高考复习的过程中,不等式部分有这样一道题:题目:正实数x₁,x₂及f（x）满足4^x=（1+f（x））/（1-f（x））等且f（x₁）+f（x₂）=1,则f（x₁+x₂）的最小值为（）（A）4（B）2（C）4/5（D） 1/4解法1:由4^x=（1+f（x））/（1-f（x））可得f（x）=4（^x-1）/（4^x+1）,由f（x₁）+f（x₂）=1知(4^x2-1)/(4^x2+1)+(4^x1-1)/(4^x1+1)=1,可解得4^x1=(4^x2+3)/(4^x2-1),所以     

含参数一元二次方程根的分布问题的思考

<正>一元二次方程ax²+bx+c=0的根是二次函数y=ax2+bx+c=0的根是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax²+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax²+bx+c=0的两个     

巧用二次函数与一元二次方程关系解题

<正>我们知道,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

一类对称方程的一般解法探究

我们有时会遇到这样的问题:题型A:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+2x=5、2log₂（x-1）+2x=5的实数根,求x₁+x₂的值".一般会这样变形:2^x=5-2x、2log₂（x-1）=5-2x,会错误地得到结论x₁+x₂=10/3.究其原因,是受到曾经作过形似的问题:题型B:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+x=5、