Partial solutions of finite elasticity-axially symmetric deformations

For axially symmetric deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials new reduced forms of the equilibrium equations are given. For the neo-Hookean and extreme-Mooney materials these equations are shown to admit exact solutions expressible in terms of Bessel functions of order zero. These solutions can be rendered as approximate solutions of problems involving the large axially symmetric deformations of circular discs containing a concentric circular hole.

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Zusammenfassung Neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für axial symmetrischen Deformationen von isotropisch unzusammendrückbaren, hyperelastischen Materialien werden gegeben. Für die neo-Hookean und extrem-Mooney Materialien können aus diesen Gleichungen exakte Schlüsse gezogen werden, die in Form von Bessel-Funktionen der Null-Ordnung ausgedrückt werden. Diese Lösungen können als ungefähre Lösungen von Problemen angesehen werden, die in Zusammenhang stehen mit grossen axial symmetrischen Deformationen von runden Scheiben, die ein konzentrisches, rundes Loch haben.

     

The rolling-up of a vortex sheet

Zusammenfassung Die vorliegenden Untersuchungen befassen sich mit dem Problem der zweidimensionalen zeitabhängigen Strömung, welche mit dem Abrollen einer semiunendlichen Wirbelfläche verbunden ist. Obwohl bereits vorliegende analytische Untersuchungen an diesem Problem Näherungslösungen für die Spiralform der aufgerollten Wirbelfläche ergeben, so dürfte es doch schwierig sein, aus diesen Ergebnissen das zugehörige Strömungsfeld zu erhalten. In dieser Arbeit werden Differentialgleichungen für den Mittelwert und den Sprung des komplexen Potentials abgeleitet, welche zur Beschreibung des Strömungsfeldes über die gesamte Ebene benutzt werden können. Für den Spiralkern stimmt die hier angegebene Lösung mit der vonKaden überein.     

A note on disturbances in a semi-infinite piezoelectric medium excited by an impulsive,polarized, tangential electric field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und unter dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes werden in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle mitenthalten.     

Large plane deformations of thin elastic sheets of neo-Hookean material

Zusammenfassung Es werden grosse ebene Verformungen dünner elastischer Scheiben aus Neo-Hookeschem Material betrachtet und eine Methode der sukzessiven Substitutionen entwickelt, um Probleme im Rahmen der zweidimensionalen Theorie endlicher ebener Spannungszustände zu lösen. Die erste Näherung wird durch lineare Randwertprobleme für zwei harmonische Funktionen bestimmt, und sie wird asymptotisch angenähert für sehr grosse Dehnungen in der Ebene der Scheiben. Die zweite und die höheren Annäherungen werden durch Lösung Poissonscher Gleichungen gewonnen. Es werden verschiedene Beispiele behandelt, und für rotationssymmetrische Verformungen wird gute übereinstimmung zwischen den Näherungen und den exakten Lösungen gefunden.     

Transient magnetohydrodynamic flow and heat transfer

Zusammenfassung Es wird die zeitabhängige Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit untersucht, die sich bei Gegenwart eines Quermagnetfeldes einstellt, und zwar wird die freie und die erzwungene Konvektion berechnet. Wenn die Wandtemperatur längs der Kanalachse linear variiert, werden die Grundgleichungen linear, was eine analytische Lösung ermöglicht. Unsteitigkeiten können entstehen durch Variationen des axialen Druckgradienten, der Wandtemperatur oder der inneren Energieerzeugung. Die Einflüsse der thermischen und magnetischen Prandtlzahl, der Hartmannzahl, der Rayleighzahl und der inneren Energieerzeugung auf die Strömung und den Wärmeübergang werden untersucht. Für grosse Werte vonRa undM und fürPr-Werte von der Grössenordnung 1 wird ein Schwingungsverhalten gefunden, dessen Periode stark von den genannten Parametern abhängt.

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Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Quasi-one-dimensional magnetohydrodynamic flow with heat addition oblique field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes sind in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grungdgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle enthalten.     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part I: The determination of exact solutions for any values of the ratio of radii and separation parameters

Zusammenfassung Für die Probleme der langsamen zähen Flüssigkeitsbewegung, die durch die Bewegung von zwei sphärischen Begrenzungen verursacht warden, sind exakte Lösungen angegeben worden. Die Bewegung der Kugeln kann entweder eine Translation entlang oder eine Rotation um die Achse sein, welche senkrecht zur Verbindungslinie der Mittelpunkte geht. Die Kugeln können sich ausserhalb von einander in einer unbegrenzten Flüssigkeit befinden, oder die Flüssigkeit kann zwischen zwei exzentrischen Kugeln eingeschlossen sein. Die Theorie ist anwendbar für alle Werte der Radienverhältnisse (k) und der minimalen Distanz () zwischen den Kugeln.     

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Distributionskoeffizient

Zusammenfassung Läßt man in der gew. lin. Dgl. zweiter Ordnung einen Distributionskoeffizient zu, der Ableitung einerL _loc ² -Funktion ist, so existieren eindeutig festlegbare, stetige Lösungen derart, daß die in der Dgl. auftretenden Produkte definiert werden können. Mit einer Regularisierung des Distr.-Koeffizienten können die Lösungen durchC -Funktionen approximiert werden. Es wird der Sturmsche Vergleichssatz verallgemeinert. Hieraus und aus den Eigenschaften der mit zwei Basislösungen gebildeten Lösungskurve folgt die Gültigkeit des Ljapunovschen Satzes über die Eigenwertverteilung der verallgemeinerten Hillschen Dgl. mit positivem Distr.-Koeffizient, falls eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist. Die vorliegende Arbeit enthält einige Ergebnisse meiner Dissertation [6] (weitere Resultate und Details finden sich dort).     

Quasi-one-dimensional magnetohydrodynamic flow with heat addition

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind in charakteristischer Form dargestellt. Ist die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt. Die Lösung für das entsprechende Problem aus der konventionellen Gasdynamik ist als Spezialfall enthalten.     

Self-excited vibrations of turbomachine blading

Zusammenfassung Unter Verwendung einer vereinfachten Betrachtungsweise für die nicht-stationären aerodynamischen Kräfte wird ein Kriterium für das Zustandekommen von selbst-erregten Schwingungen bei Axialturbinen- bzw. Axialkompressoren-Schaufeln angegeben, die entlang ihrer Höhe sowohl aerodynamisch wie auch geometrisch veränderliche Eigenschaften aufweisen. Es werden dynamische Gleichungen in verallgemeinerter Form hergeleitet und auf ihre Lösung mit Hilfe der Phasenebene hingewiesen. Ferner wird die Möglichkeit von Relaxationsschwingungen, die durch endliche Unstetigkeit in der Auftriebscharakteristik hervorgerufen werden können, untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung hat gezeigt, dass diese Möglichkeit bei den in der Praxis vorkommenden Steifigkeiten und Dämpfungseigenschaften der Schaufeln kaum besteht.     

Permanent replicas of the crystalline structure of hailstones

Zusammenfassung Es wird eine Technik für die rasche Zubereitung dauerhafter Abgüsse (Replicas) der Struktur von Hagelsteinquerschnitten geschildert. Das Verfahren dürfte sich als besonders förderlich in Studien über die innere Struktur solcher Partikeln erweisen. Alle Vorkehrungen können in einem Raum normaler Temperatur vorgenommen werden, sofern eine Kühltruhe mit einer Betriebstemperatur bis –20°C zur Verfügung steht.Die Hagelschlossen werden auf einem Block aus plastischem Schaum verankert, mit einer Säge in zwei Teile geschnitten und die Schnittflächen mit grobem und feinem Sandpapier geschliffen und schliesslich über Samt geglättet, für welche Vorkehrungen nicht mehr als einige wenige Minuten benötigt werden. Hierauf werden die Eiskörper für etwa 15 min bei einer Temperatur von –20°C gehalten, oder so lange, bis sich auf den polierten Schnittflächen infolge Sublimation (Verdampfung) Ätzfiguren ausgebildet haben.Die geätzten Eisoberflächen werden mit einer 5%igen plastischen Lösung von einer Temperatur von –5°C überzogen und nach Abtropfen der überschüssigen Lösung alsdann auf –20°C gehalten, bis das Lösungsmittel verdunstet ist. Die entstandenen plastischen Filme werden hierauf von der Eisoberfläche abgestreift und zwischen zwei Glasplatten gebracht. Sie können in dieser Form entweder photographiert werden oder schliesslich als Diapositive Verwendung finden. Lichtbilder von natürlichen Hagelschnittflächen und solche von Abgüssen illustrieren die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.     

The vertical plate in laminar free convection: Effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature

Summary For laminar free-convection flow past a heated vertical plate of finite length, the local asymptotic flow structure is studied in regions where the boundary-layer equations do not provide a correct approximation at large Grashof numbers. The leading-edge region is shown to contribute a secondorder term to the integrated heat transfer. An integral form of the energy equation permits calculation of this correction in terms of the second-order boundary-layer solution away from the edge, without knowledge of the flow details near the edge, which can be obtained only by solution of the full Navier-Stokes equations. Near the trailing edge and near a jump in the prescribed plate temperature the longitudinal pressure gradient is found to be important in a thin sublayer adjacent to the plate, and the transverse pressure gradient is important in the remainder of the boundary layer, each for a distance along the plate which is slightly larger in order of magnitude than the boundary-layer thickness. At the trailing edge the sublayer problem is nonlinear and cannot be solved analytically, but it can be shown that the local correction to the total heat transfer is of slightly larger order of magnitude than the leading-edge correction. It is pointed out that the trailing-edge flow is identical in form to the flow near the edge of a rotating disc in a stationary fluid. The temperature-jump problem is linear and a solution is given which shows how the singularity in streamline slope predicted by the boundary-layer solution is removed.

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Zusammenfassung Bei laminarer natürlicher Strömung längs einer senkrecht stehenden endlichen geheizten Platte bei sehr grossen Grashof'schen Zahlen gibt es kleine Bereiche, bei denen die Grenzschichtgleichungen keine echte asymptotische Darstellung liefern. Im Vorderkantenbereich findet man ein Zusatzglied zweiter Ordnung für die gesamte Wärmeübertragung. Die Berechnung dieser Korrektur erfolgt durch eine Integralform der Energiegleichung, wobei nur die Lösung der Grenzschichtgleichung zweiter Ordnung fern von der Kante benützt wird, während die Kenntnis der Strömung in der Nähe der Kante nur durch eine Lösung der exakten Navier-Stokes'schen Gleichungen gefunden werden könnte. In der Nähe der Hinterkante und in der Nähe einer Diskontinuität der gegebenen Plattentemperatur wird das Längsdruckgefälle in einer dünnen Unterschicht wichtig; das Querdruckgefälle wird in dem restlichen Teil der Grenzschicht berücksichtigt, für eine Länge, deren Grössenordnung etwas grösser ist, als die der Grenzschichtdicke. Bei der Hinterkante ist das Unterschichtsproblem nicht linear, und es gibt keine analytische Lösung, aber man kann zeigen, dass die Grössenordnung der Korrektur der gesamten Wärmeübertragung etwas grösser ist als die Korrektur bei der Vorderkante. Die Strömung bei der Hinterkante ist dieselbe wie die Strömung bei der Kante einer rotierenden Scheibe in einer sonst ruhenden Flüssigkeit. Das Temperatur-Diskontinuitätsproblem ist linear, und eine Lösung ist hier gefunden worden, wodurch die von der Grenzschichttheorie gegebene Singularität (unendliche Quergeschwindigkeit) entfernt wird.

     

Sloshing frequencies for a half-space with circular or strip-like aperture

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Näherungswerte (mit stengen Fehlerschranken) hergeleitet für die Eigenfrequenzen der Schlingerbewegungen einer einen Halbraum mit kreis- oder streifenförmiger Öffnung ausfüllenden idealen Flüssigkeit. Das mathematische Modell kann als Grenzfall des klassischen Modells für endliche Behälter betrachtet werden. Wegen der bekannten Gebietsmonotonie der Eigenwerte sind die Werte für den Halbraum universelle obere Schranken für die entsprechenden Eigenwerte beliebiger beschränkter oder unbeschränkter Behälter mit gleichartigen Öffnungen.Die Anlage der Arbeit ist wie folgt:Die Formulierung des mathematischen Modells erfolgt in § 2, wobei insbesondere auf die Randbedingung im Unendlichen eingegangen wird. In § 3 wird die Aufgabe auf die Eigenwert-aufgabe für einen gewissen selbstadjungierten, kompakten Operator in einem Hilbertraum zurückgeführt, wodurch der Weg zur Anwendung klassischer numerischer Verfahren der Eigenwertbestimmung (Ritz, Krylow-Bogoljubow, Temple) freigelegt wird. In § 4 werden geeignete Koordinatenfunktionen für das Ritzsche Verfahren eingeführt und die erforderlichen Skalarprodukte analytisch berechnet. Einige dabei auftretende Integrale mit Gegenbauerpolynomen sind im Anhang ausgewertet. Das Ritzsche Verfahren führt in der hier benützten Form auf die algebraische Aufgabe der Bestimmung der stationären Werte einer quadratischen Form unter einer linearen und einer quadratischen Nebenbedingung. Die numerische Lösung dieser Aufgabe wird in § 5 besprochen. Die sich daraus ergebenden, recht genauen Eigenwertschranken sind in § 6 tabelliert.

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Dedicated to Professor L. Collatz on his 60th birthday

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The contribution of P. Henrici to the preparation of this paper was supported, in part, by the Office of Naval Research under contract NONR 233 (76) at the University of California, Los Angeles.The research of B. A. Troesch was supported, in part, by the National Science Foundation under Grant GP-7522.L. Wuytack performed his share of the work while he was a Bundesstipendiat at the Eidgenössische Technische Hochschule.     

Numerical solutions for steady viscous linearized flow between two finite rotating disks

Zusammenfassung Für die stationäre axisymmetrische Strömung einer zähen Flüssigkeit zwischen zwei rotierenden Platten und einem rotierenden Zylinder sind numerische Lösungen erhalten worden. Die Strömung wird durch eine kleine Differenz zwischen den Drehschnellen erzeugt, und die Navier-Stokesschen Gleichungen wurden linearisiert. Lösungen werden für die Reynolds-Zahlen 25, 75 und 200 angegeben.     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

The non-steady flow in a magnetohydrodynamic shock-wave generator of finite length

Zusammenfassung Durch geeignete Transformationen der diese Vorgänge beschreibenden Grundgleichungen in differentieller Form, Impulssatz, Kontinuitätsgleichung und Energiesatz, können sogenannte Verträglichkeitsbedingungen erhalten werden. Diese gelten entlang den Charakteristiken beziehungsweise den Lebenslinien. Letzteres System von gewöhnlichen, nichtlinearen Differentialgleichungen darf linearisiert werden, sofern die elektromagnetischen Wechselwirkungen mit der Strömung schwach sind. Elementare Integrationen führen dann zu relativ übersichtlichen und einfachen Resultaten. Insbesondere sind die unbekannten Funktionen an drei ausgezeichneten Stellen des -t-Feldes explizite zu bestimmen und die Funktionswerte im übrigen Strömungsfeld lassen sich leicht graphisch ermitteln. Die stromaufwärts reflektierten Druckschwankungen, verursacht durch die elektromagnetische Wechselwirkung im Generator, können nach einer von den Betriebsbedingungen abhängigen Anlaufstrecke zu einem Stoss auflaufen. Die exakte Bestimmung dieser Anlaufstrecke ist im Rahmen der Linearisierung auch möglich. Es ist erstaunlich, wie rasch, gemessen an der Zeit, die die Stosswelle zum Durchlaufen des Generators braucht, die Strömung im Generator stationär wird.     

Flow between torsionally oscillating disks rotating about different axes at different speeds

The flow of an incompressible viscous fluid confined between two parallel infinite disks performing torsional oscillations with the same frequency, but rotating about different axes with different speeds has been studied. The solutions are presented for the symmetric and asymmetric first harmonic and steady streaming. The interesting features of the symmetric and asymmetric flow are discussed for the cases of small and large Womersley parameter at different ratios of the rotation speeds. The forces acting on one of the disks are also calculated.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Strömung einer zwischen zwei parallelen, unendlichen Scheiben begrenzten, inkompressiblen, viskosen Flüssigkeit untersucht; die zwei Scheiben führen Torsionsschwingungen gleicher Frequenz aus, drehen sich aber um verschiedene Achsen mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Lösungen werden gegeben für die symmetrische und asymmetrische, erste harmonische Oberschwingung und die stationäre Strömung. Die interessanten Eigenschaften der symmetrischen und asymmetrischen Strömung werden diskutiert für die Fälle von kleinem und großem Womersley-Parameter bei verschiedenen Verhältnissen der Drehgeschwindigkeiten. Außerdem werden die Kräfte berechnet, die auf eine der Scheiben einwirken.

     

Kinetic friction locking for multi-body systems with friction

Summary Limiting equilibrium positions and initial value problems of single freedom multi-body systems with friction-affected sliders and hinges are examined. Static or kinetic locking occurs, when the solutions have infinite absolute values. It is shown, how limit values of friction coefficients and radii corresponding for friction locking can be determined. With friction parameters larger than the limit values no or ambiguous solutions are obtained. Therefore, friction coefficients and radii corresponding to friction locking are upper limits for these parameters.

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Zusammenfassung Es werden Grenzgleichgewichtslagen und Anfangswertproblem für Mehrkörpersysteme mit einem Freiheitsgrad und reibungsbehafteten Schub- und Drehgelenken untersucht. Die Systeme sind statisch oder kinetisch reibblockiert, wenn die Lösungen unendliche absolute Werte annehmen. Es wird gezeigt, wie Grenzwerte für Reibungskoeffizienten und Reibradien, die Blockieren durch Reibung verursachen, bestimmt werden können. Mit Reibwerten, die gröer als die Grenzwerte sind, erhält man keine oder mehrdeutige Lösungen. Deshalb sind die Werte der Reibungskoeffizienten und Reibradien, die Blokkieren verursachen, Obergrenzen für diese Parameter.

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Dedicated to Professor S. H. Crandall, M.I.T., Cambridge, MA, on the occasion of his 75th birthday.     

Linearized spin-up in vortex flows

Summary Transient motions of contained laminar vortex flows are investigated by solving a linearized (low Rossby number) spin-up problem for arbitrary primary flow circulation distribution. If the local Ekman number is of the order of one or larger, spin-up occurs solely by viscous diffusion (Rayleigh layers), but if the local Ekman number is small compared with one, spin-up occurs by the action of an Ekman layer induced secondary flow in a time much less than the viscous diffusion time. The unsteady motion is superimposed on a steady state secondary flow which compensates for diffusion of primary flow vorticity.

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Zusammenfassung Zeitabhängige Bewegungen einer laminaren Wirbelströmung in einem Behälter werden untersucht, indem ein (für kleine Rossby-Zahlen) linearisiertes Spin-up-Problem für willkürliche Zirkulationsverteilung der primären Strömung gelöst wird. Wenn die lokale Ekman-Zahl von der Grössenordnung Eins oder grösser wird, so erfolgt der Spin-up ausschliesslich durch viskose Diffusion (Rayleighsche Schichten), doch wenn die lokale Ekman-Zahl verglichen mit Eins klein ist, so erfolgt der Spin-up durch die Wirkung einer durch eine Ekman-Schicht induzierten sekundären Strömung in einer Zeit, die viel kürzer ist als die viskose Diffusionszeit. Die nichtstationäre Bewegung ist einer permanenten Sekundär-Strömung überlagert, welche die Diffusion der primären Strömungsrotation kompensiert.