一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

代数式求值的三把利器

先看这样一道题:已知x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个根,求代数式（x₁²+2x₁-1）（x₂²+2x₂-1）的值.大多数同学采用以下方法进行的:原式=（x₁x₂）²+2x₁²x₂-x₁²+2x₁x₂²+4x₁x₂-2x₁-x₂²-2x₂+1=（x₁x₂）²+2x₁x₂（x₁+x₂）-（x₁+x₂）²+6x₁x₂-2（x₁+x₂）+1.再以x₁+x₂=-1,x₁x₂=-1代入,计算出结果为-1.由于上述变形较繁,容易出现失误.实际上,本题可利用方程根的定义轻松解决:因为x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

例谈知识点交汇问题的解题策略

一、与向量、方程、函数知识点的交汇例1,若抛物线C:y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,l的斜率为1,求OA,OB的夹角.解:∵F（1,0）,l的斜率K_l=1,∴l的方程为:y=x-1.设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,l与C相交将l:y=x-1代入C:y²=4x中得:x²-6x+1=0,x₁,x₂为其两根,则x₁+x₂=6,x₁·x₂=1,     

探析弦长公式在“共线‘弦长’比”问题中的“另类”应用——兼谈弦长公式中弦长的本质和误区

我们知道,公式|AB|=1+k²（1/1+k²）|x₂-x₁|（或|AB|=1+1/k²（1/1+k²/1）|y₂-y₁|（k≠0））是是解析几何中,当斜率为k的直线与圆锥曲线相交时,用来求弦长的公式（其中x₁,x₂（或y₁,y₂）分别是两交点的横（纵）坐标）.然而,弦长公式只能用来求弦长吗?笔者在高三复习教学中发现,大多数学生只有在求直     

巧思妙解话函数

巧用特殊值巧用特殊值是指在题目条件下取一些特殊的值进行简单计算,以确定问题的解的一种解题技巧.适用范围遇到含有数的取值范围选择题时,运用特殊值可使解题快捷.试题1在函数y=k/x（k>0）的图象上有三点A₁（x₁,y₁）,A₂（x₂,y₂）,A₃（x₃,y₃）,已知x₁2<03,则下列各式中正确的是（）A.y₁23 B.y₃21C.y₂13 D.y₃12技巧关键可通过取特殊值转化为简单的计算进行比较,但需要注意的     

过不共线三点的圆锥曲线

我们知道,过不共线三点确定唯一一个圆.那么自然会想到,过不共线的三点有多少个椭圆、双曲线和抛物线?本文试图给这个问题做出解答.我们首先来解决抛物线的问题.结论1:设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）是直角坐标系xOy中不共线的三点,且它们的横坐标互不相同,则有唯一的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点.     

平面曲线的中心对称与轴对称问题

对称问题是函数和解析几何中的重要考点,如何有效解决?本文将以向量为工具给出对称问题的有效解决方法,供读者参考.一、点关于点对称问题结论1点P（x₀,y₀）关于点M（a,b）的对称点为Q（2a-x₀,2b-y₀）.证明:设Q（x₁,y₁）,则必有（?）,即（a-x₀,b-y₀）=（x₁-a,y₁-b）,得到a-x₀=x₁-a,b-y₀=y₁-b,即     

数学竞赛中二次函数类题的解法

二次函数类竞赛题是近年来热点问题之一.现将有关竞赛题归类并进行解析.一、求二次函数解析式例1已知二次函数y₁和y₂,当x=a（a>0）时,y₁取得最大值5,且y₂=25;又y₂的最大值为-2,y₁+y₂=x²+16x+13.求a的值及二次函数y₁、y₂的解析式.解由已知,设y₁=m（x-a）²+5,贝y₂=x²+16x+13-m（x-a）²-5.又当x=a时,y₂=5,即a²+16a+8=25.解之,得a₁=1,a₂=-17（舍去）,故y₂=x²+16a     

椭圆的三类切点弦的包络

引理已知MA和MB是椭圆b²x²+a²y²=a²b²的两条切线,A,B是切点,若M点的坐标是M（x₀,y₀）,则切点弦AB的方程是x₀x/a²+y₀y/b²=1.证明记A（x_A,y_A）,B（x_B,y_B）,则分别以A（x_A,y_A）,B（x_B,y_B）为切点的椭圆的两条切线的方程依     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

利用方程的两根之比解题——由一道课本习题所想到的

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b²=25ac,证明:设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂则x₁/x₂+x₂+x₁=2/3/2=（13）/6由一元二次方程根与系数的关系知: x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a     

一道有用的中考题

题目（2011年贵州省贵阳市中考第24题）[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）为端点的线段中点坐标为（（x₁+x₂）/2,（y₁+y₂）/2）.     

注重数学“四基”的协同发展教学——评析2013南通市中考数学卷第28题

本文就2013年南通市中考数学卷第28题进行评价,谈谈"四基"的协同教学问题.如图1,直线（b>0）与抛物线y=kx+b（b>0）与抛物线y=x²/8_相交于A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS     

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

一类对称方程的一般解法探究

我们有时会遇到这样的问题:题型A:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+2x=5、2log₂（x-1）+2x=5的实数根,求x₁+x₂的值".一般会这样变形:2^x=5-2x、2log₂（x-1）=5-2x,会错误地得到结论x₁+x₂=10/3.究其原因,是受到曾经作过形似的问题:题型B:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+x=5、     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是: