含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

关于一类Heron三角形的判定与计数

边长和面积都是整数的三角形称为Ｈｅｒｏｎ（海伦）三角形，此前曾有文章讨论过它的一些有趣特性．为简便，本文用Ｈ△表示Ｈｅｒｏｎ三角形；边长为整数的直角三角形（即勾股三角形）用Ｂ△表示，显然Ｂ△是Ｈ△的一种特殊情形．如果一个Ｈ△是Ｂ△或其一条高线可将它分...     

构造相似三角形证题的几条有效途径

相似三角形具有很多重要性质,应用十分广泛,能解决诸多相关的几何命题,本文就如何构造两个相似三角形给出几条有效途径,供初中学生学习时参考．一、连结线段例１如图１,已知直角三角形ＡＢＣ及斜边ＢＣ上的高ＡＤ,求证：△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的内切圆的面积的比等于Ｂ...     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

一个三角形问题的多解与推广

问题 求斜边长为1的直角三角形的内切圆半径的最大值． 解法1 借助直角三角形的特殊性，即直角三角形两条直角边的长减斜边长等于三角形内切圆半径的2倍，     

立体几何中的一个基本体

立体几何中的一个基本体王庆荣（河北丰润第二中学０６４０００）三角形是平面几何中最简单的多边形，而任何一个三角形都可分成两个直角三角形，三角形的很多性质，都可由直角三角形来研讨，因此可以说，直角三角形是平面几何的基本图形之一．四面体是立体几何中最简单的...     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

一个逆定理的两种证法

课本里有这样一个定理:在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半．在习题里给出了该定理的逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜角的一半,那么这条直角边所对的锐角是30°．逆定理的证法可仿照定理的证法,很容易完成(用加倍法或截半法)．该定理还有另外一个逆命题:“在一个三角形中,如果30°所对的边等于另一边的一半, 那么这个三角形是直角三角形．”这个命题是     

直角三角形内有关内切圆半径的有趣结论

直角三角形斜边上的高线把原直角三角形分割成两个三角形,这两个三角形与原直角三角形的内切圆半径之间存在有趣的结论,同样,关于斜边上的中线,也有类似的有趣结论．     

智慧窗

如图,是在一正方形中挖去一等腰直角三角形,请再画一正方形,使其面积恰为这图中正方形所剩余部分的面积.智慧窗《巧作图》参考答案 作一直角三角形,使其中一直角边等于挖去的那个等腰直角三角形底边的一半,令其斜边的长等于原正方形的一条边,则这直角三角形的另一边即为要作出的正方形的边长.为什么?请自证.口智慧窗@裴庄!北京     

直角三角形中的三个有趣结论

直角三角形斜边上的高线把原直角三角形分割成两个三角形,这两个三角形与原直角三角形的外接圆半径存在有趣的结论,同样,关于斜边上的中线、角平分线,也有类似的有趣结论．     

三角形旁心的性质

三角形旁心的性质李风坤，武延树（山东省惠民师范学校２５１７００）三角形每一内角的平分线与其余两角的外角平分线会交于一点．这点是三角形旁切圆的圆心，叫做三角形的旁心三角形的旁心共有三个．本文给出三角形旁心的几个有趣的性质．为叙述方便，记西ＡＢＣ的三边长...     

两个判定直角三角形方法的类比、推广和应用

我们知道,判定一个三角形为直角三角形,可以从边和角两个方面来考虑,关于边的重要判定定理为勾股定理的逆定理,关于角的重要判定方法为"两角之和等于第三个角的三角形为直角三角形",这两种判定方法还很相似呢!     

一直角边为定值的勾股形的个数

一直角边为定值的勾股形的个数张文忠（四川成都四川工业学院６１１７４４）我们将三条边长ｘ，ｙ，ｚ都是正整数的直角三角形称为勾股三角形，此时有ｘ２＋ｙ２＝ｚ２①常遇到这样的问题：任给定正整数ａ为一直角边，如何求出一个句股三角形的另外两边的长（见［１］）．...     

一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

也谈正方形的剖分问题

吴振奎先生在文[1]中介绍了将边长是整数的正方形剖分成边长全是整数的直角三角形(以下称整边直角三角形)的有趣问题．并在同一文中提到：1976年,有人创下了正方形边长为48的边长最短正方形的整边直角三角形剖分,剖分的个数是7(见图1,图中数字表示该边边长．)．     

勾股定理验证方法赏析

同学们在学习了勾股定理的知识后,已经知道勾股定理是描述直角三角形三边之间数量关系的一个重要定理,体现了数与形的和谐统一,是数形结合思想的典范.课本上已经进行了生动的验证,下面再列举几种通俗易懂的验证方法,供同学们参考. 方法一:旋转法 用两个全等的直角三角形纸板拼成如图1(a),使两条直角边a、b在同一直线上.将△ABC绕着A点旋转到△AFG的位置,△BDE绕着E点旋转到△FHE的位置,由图1(b)中不难看出:由以b为边长的正方形与以a为边长的正方形面积之和等于以c为边长的正方形面积,从而得出a2+b2=c2.     

趣味三角形探秘

三角形是初中几何重要内容之一,我们已经重点研究了等腰三角形与直角三角形.我们还经常会遇到一些具有明显特征的三角形,它们分别是……一、母子三角形直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似,如同儿子与母亲的遗传关系,我们形象地昵称为“母子三角形”,特征为“一母抱两子,母子三相似”.     

对勾股定理推广的应用

<正>在刚刚学习三角形知识时,我们知道了如果给定三条已知长度的线段可以判断它们是否可以组成一个三角形;而当我们学习了勾股定理后,我们发现,如果一个三角形的三条边满足a²+b2+b²=c2=c²的数量关系,就可以判断它是一个直角三角形;后来自习了对勾股定理的推广,我们又可以通过三角形三边的数量关系,来判断一个三角形是锐角三角形或钝角三角形,那么