最大内角不等于120°的三角形性质

<正>费马点以三角形各边为边长向形外作等边三角形,则三个等边三角形的外接圆共点.该点称为三角形的费马点.显然,最大内角小于120°的三角形的费马点在形内,最大内角大于120°的三角形的费马点在形外,最大内角等于120°的三角形的费马点是120°角的顶点.本文对最大内角等于120°的三角形不作介绍了     

相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

由三角形内角和谈起

一、基本知识一个三角形的三个内角之间有下面的重要关系:三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.三角形中,一个内角的邻补角叫做这个三角形的一个外角.显然有(1)三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角之和.(2)三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角.     

关于三角形的面积

关于三角形的面积,从小学到中学,大家都知道有三个最常用的计算公式: S=1/2ah_a,S=1/2bcsinA, S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2) 其中a、b、c表示三角形的三边长,h_a表示边a上的高,A是a边所对的内角,s表示三角形的半周长。为了比较系统地研究三角形的面积问题,本文应用这些公式,从各个角度对这一问题作一探讨。一、根据初等几何研究三角形的面积这时,应用最熟悉的公式S=1/2ab_a,对学生来说是极易理解和接受的,在讨论三角形的面     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

任意三角形和等边三角形的联系

三角形是最简单的多边形,等边三角形又是三角形中特殊的一种,至于任意三角形和等边三角形的联系,除了莫利(Morley)已注意到三等分任意三角形的各个内角的射线两两相交于三个顶点成为一个等边三角形的著名定理.这里另外介绍几个新颖的和等边三角形有联系的定理,它们的证明是简单的,而结果是有趣的.     

凸四边形的一个面积公式——“类海伦公式”

文[1]探究了海伦公式的推广问题．由于三角形被三条边长完全确定,而四边形则否,因此,作者认识到与海伦公式不同,四边形的面积不能用四边长通过一个式子表示．接下来,作者考虑了几种特殊情况,根据四边形有外接圆、四边形有内切圆、四边形既有外接圆又有内切圆等不同情况,给出了只用四边形的四边长表示的面积公式．最后,作者得出结论：对任意四边形,不能只用其边长通过一个式子表示其面积．     

锐角三角形的一个性质

命题:锐角三角形中,任意一个内角的正弦(或正切)大于其他两个内角的余弦(或余切)。证明设锐角三角形的三个内角为A、B、C。因为三角形内角都为锐角,所以有A B>90°A>90°-BsinA>sin(90°-B)sinA>CosB。同理sinA>cosC。(类似可证tgA>ctgB,tgA>ctgC)这个性质虽很简单,但熟悉它后对解题带     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…     

三角形外角平分线三角形的性质

关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所…     

倍角三角形的一个性质应用

定义如果一个三角形中一个内角等于另一个内角的二倍,我们称这样的三角形为倍角三角形.倍角三角形有如下性质:在倍角三角形中,二倍角与一倍角所对边的平方差等于一倍     

探索一个凸n边形内角中的“最多”与“最少”问题

一、一个凸n边形的内角中,最多能有几个锐角、直角、钝角?我们知道一个三角形的三个内角中,最多能有三个锐角、一个直角、一个钝角．现在思考这样一个问题,在一个四边形的四个内角中,最多能有几个锐角、直角、钝角?…,任意多边形呢?     

初二几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分)1.三角形的三个内角中,最多有个锐角,最少有个锐角,最多有个直角,最多有个钝角.2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A=,∠B=,∠C=.3.在△ABC中,∠A=12∠B=14∠C,则三个内角分别是.4.已知三角形两边分别是2厘米和7厘米,第三边的数值是偶数,则这个三角形的周长是.5.已知不等边三角形的最长边为9,最短边为2,且第三边是整数,则第三边长.6.如果在一个三角形中,最大角是最小角的2倍,那么最小角的范围是.7.周长为15,各边长是互不相等的整数的三角形有个.8.在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=5…     

品尝创新成果

大家都知道三角形内角和为180°. 怎样通过实验获得三角形的内角和?可 以提供数种方法,归纳如下: 1.测量法 裁一个纸三角形,用量角器 分别量出三个角的度数,然后把它们加起来, 得到三角形的内角和为180°. 2.剪拼法 裁一个纸三角形,把它的三 个角分别剪下来,再把三个角的顶点放在一 起,刚好构成一个平角,即内角和为180°.     

三角形角格点的一个判定定理及应用

如果三角形内角都是 1 0°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有的角 ,也都是1 0°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .文 [1 ]给出了三角形内角格点的定义 ,并提出了三角形内角格点的 45个猜想 ,本文给出三角形内角格点的一个判定定理 ,应用它可非常容易地求得任意一个三角形的所有角格点 .定理　设△ ABC的三内角都是 1 0°的整数倍 ,P为△ ABC内一点 ,∠ PAB =α,∠ PBC=β,∠ PCA=γ　 (α≤β≤γ) ,α′,β′,γ′　 (α′≤β′≤γ′)是角 A -α,B -β,C-γ的一个排列 ,则 P为△ ABC内角格点的充要条件为角α、…     

利用圆外(内)角和圆周角的大小关系解题

<正>圆是平面几何中的基本图形,看似朴实无华,实则魅力无穷.我们把顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫圆周角;圆外角指顶点在圆外,且两边都和圆相交的角;圆内角指顶点在圆内的角.这三种角之间有大小关系:一条弧所对的圆内角>它所对的圆周角>它所对的圆外角.如图1,圆周角∠C>圆外角∠D,这是因为∠C=∠AEB>∠D;图2中同理有圆周角∠C<圆内角∠ADB.     

三角形旁心的性质

三角形旁心的性质李风坤，武延树（山东省惠民师范学校２５１７００）三角形每一内角的平分线与其余两角的外角平分线会交于一点．这点是三角形旁切圆的圆心，叫做三角形的旁心三角形的旁心共有三个．本文给出三角形旁心的几个有趣的性质．为叙述方便，记西ＡＢＣ的三边长...     

覆盖任意三角形的最小正三角形

覆盖任意三角形的最小正三角形黄继创（山西阳泉教育学院０４５０００）波兰著名学者Γ．施琴高兹，在他所著的《数学１００题》最后一章中，提出了一道尚未得出答案的问题：任意两个三角形的各边长之间满足什么条件，是使其中一个能放置于另一个三角形内的充要条件．由高...     

关注“锐角三角形”

<正>锐角三角形有如下两条不起眼的性质,解题时一不小心就会出错.为了引起同学们的关注,特将它的两条性质整理出来,并配上应用,供同学们学习时参考.性质1在锐角三角形中,每一个内角都是锐角且任意两内角之和大于直角;性质2在锐角三角形中,每一条边都夹在它的邻边和它们的夹角的余弦的积和商之间且任意两边的平方之和大于第三边的平方.     

三角形的半内切圆的若干计算公式

与三角形的外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为三角形的半内切圆 .显然 ,一个三角形的半内切圆有三个 .文 [1 ]曾给出了三角形的半内切圆的三个性质 (即文 [1 ]性质 1～ 3,其余性质实际上是圆外切四边形的性质 ) ,包括著名的Mannheim定理 [2 ] :三角形的内心是它的任意半内切圆与三角形两边切点连线段的中点 .本文以 Mannheim定理为基础 ,给出三角形的与半内切圆有关的若干线段的计算公式 ,并顺便给出三角形的半内切圆的几个性质 .按惯例 ,下面的讨论中以 a,b,c,p分别表示△ ABC的三边长与半周长 ,A,B,C既表示其三个顶点 ,也表示相…