一类多边形的几何特征

本文约定：满足1/a^2＋1/b^2=1的椭圆（长半轴长a，短半轴长6）称为标准椭圆；以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆，其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆．     

椭圆与它的同心圆

设椭圆的长半轴为a,短半轴为6(0相似文献   

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

圆锥曲线的“蒙日圆”

<正>圆锥曲线有关切线的问题时常出现,而关于椭圆的切线,有一个著名的定理:在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上(如图1),该圆的圆心是椭圆的中心,半径等于(a²+b2+b²)2)^(1/2),其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴.因为发现该圆的人是法国数学家加斯帕尔·蒙日,所以这个圆又叫蒙日圆.     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想：与椭圆x^2/a^2 ＋ y^2/b^2 =1内接，且与圆x^2 ＋ y^2 = （ab/a＋b）^2外切的多边形是三角形．随后证明了猜想．美中不足的是运算量过大，现给出另一证法，以供参考．     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

椭圆面积公式S=πab的一种初等证法

椭圆的面积公式S=πab的证明,要用到微积分的知识,在这里,给出一种初等证法。高中《平面解析几何》上有这样的题(P126第23题):底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截,截面为一椭圆。求该椭圆的方程。其图如右(图1),不难发现:椭圆的长半轴a、短半轴b与底面圆的半径r有如下关系: a·cosa=r b=r (a为椭圆面与底面成的角) “—一·—L_/ 由此,我们以椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的短半轴b为底面圆半径,构造一个圆柱(高h足够大),然后用一个平面去截圆柱,当截面与底面成a角时,得到椭圆截面x~2/a~2     

争鸣

问题问题115对于椭圆的周长,我们给出如下推导方法．把一个长半轴长为a,短半轴长为b的椭圆(图1)放入底面半径为b的圆柱中(足够深),会出现椭圆边缘与圆柱内壁完全闭合(图2)的情形．设此时椭圆在圆柱     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

黄金分割椭圆及其特性

有这样的一种椭圆，它的长半轴、短半轴、半焦距分别是如图1所示的直角三角形ABC的斜边BC及直角边CA、BA的长a、b、C，且BA边在斜边BC上的射影BH的长恰等于CA边的长b，即是说，D是线段BC的黄金分割点．这时，由CA~2=DC·BC得定义如果椭圆的短半轴和长半轴的长之比等于，那么就称这种椭圆为黄金分割椭圆．由以上定义，焦点在X轴上，中心在原点的黄金分割椭圆的标准方程可写成：注：为书写方便，①式中的h代表无理数（下文同）．下面，我们不妨以椭圆①为例，介绍黄金分割椭圆的一些特征：（1）椭圆①的半焦距是其长半轴和短半岛…     

点在圆内的证法

设A,B分别为椭圆x2a2 2yb2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.1)求椭圆的方程;2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.证明点B在以MN为直径的圆内.本题第一小题,易求得椭圆方程为2x4 2y3=1;第二小题为证明题,即证明点B在以MN为直径的圆内.下面就此题谈谈“点在圆内”的四种证法.“点在圆内”在高中所学知识范畴内常可转化为:①此点B与圆心O距离小于圆的半径;②BM·BN<0;③tan∠MBN<0;④(xB-a)2 (yB-b)2相似文献   

点在圆内的证法

设A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a，b〉0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．     

一类三角形存在性的进一步结论

特别约定：满足1/a^2＋1/b^2=1的椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1称为标准椭圆．以标准椭圆的中心为圆心的圆x^2＋y^2=r^2称为标准椭圆的同心圆．     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…     

对一道竞赛题的探究

第31届美国大学生数学竞赛B卷第6题是一道很有趣的题目,本文用命题的形式表述如下: 命题1 边长依次为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S=√abcd,则它可内接于某圆.     

关于圆、椭圆、三角形的一个相关性质

由文[1]易得：如图1，与椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1内接，且与圆x^2＋y^2=a^2b^2/a^2＋b^2外切的多边形是菱形．     

培养学生的探究能力一例——椭圆和双曲线中的姊妹圆

本文向读者展示的椭圆、双曲线中姊妹圆的发现 ,对一个数学家或者一个数学教师来说是不足挂齿的 ,但对初学解析几何的学生来说 ,不能不说是一个创造与创新精神的体现 .1　美感追求发现姊妹圆高二圆锥曲线复习课上练习有道题 :点 M与椭圆x21 32 y21 2 2 =1的左焦点和右焦点的距离之比为 2∶ 3,求点 M的轨迹并画出图形 (《平面解析几何》(必修 ) P79) .解　设 M( x,y) ,∵　椭圆的长半轴 a =1 3,短半轴 b =1 2 ,半焦距 c =5,故按题意得( x 5) 2 y2( x - 5) 2 y2 =23,化简得 x2 y2 2 6 x 2 5=0即 ( x 1 3) 2 y2 =1 2 2 .画…     

探求椭圆面积公式的另一种方法

关于椭圆面积公式的探求有多种方法 ,不少的刊物上曾刊登过相关的研究文章 ,本文给出另一种探求方法 .图 1如图 1所示 ,设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,Ak(xk,yk) (k=1 ,2 ,3,...n)是椭圆上的n个点 ,A1 A2 ...An 是椭圆的内接n边形 ,当n→∞时 ,｜AkAk+1 ｜max =ln → 0 ,则 x2 ka2 + y2 kb2 =1 ,由此得x2 k + abyk2 =a2 ,可见 ,点Bk xk,abyk (k =1 ,2 ,3...n)是圆x2 +y2 =a2 上的n个点 ,且这n个点在圆上的排列顺序与点Ak(k=1 ,2 ,3...n)在椭圆上的排列顺序相同 ,所以 ,B1 B2 ...Bn 是圆x2 +y2 =a2 的内接n边形 .连接OA1 ,OA2…     

求椭圆（球）面（体）积的代数方法

众所周知 ,若椭圆 (球 )的各半轴分别为 a,b(a,b,c) ,则椭圆 (球 )的面 (体 )积为πab(43 πabc) .由此可见 ,只要知道了椭圆 (球 )的各个半轴或各半轴之积 ,便可得到椭圆 (球 )的面 (体 )积 .基于这一点 ,本文汇集几种求椭圆 (球 )面 (体 )积的代数方法 .为书写简便 ,仅以椭圆为例 ,其方法完全适用于椭球情况 .任一二元不等式 a1x2 2 b1xy c1y2 2 d1x 2 e1y≤ f1,当 f1>0时 ,总可化为ax2 2 bxy cy2 2 dx 2 ey≤ 1 ,当 d=e=0时 ,变为 ax2 2 bxy cy2 ≤ 1 .由线性代数知 ,对于这两种形式的不等式 ,当二次项部分 (即二次型 a…     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…