切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

一道中考题的多种解法及评析

笔者参加了2005年舟山市数学试题的评阅工作,对试卷中的第24题感触颇深,现把考生中的典型解法及自己对该题的分析、反思摘文如下,供同行参考.题目如图1,在坐标平面内,半径为R为⊙C与x轴交于点D(1,0)、E(5,0),与y轴的正半轴相切于点B,点A、B关于x轴对称,点P(a,0)在x轴的正半轴上     

今年高考数学第五题(理工农医类)的解法探讨

今年高考数学试题(理工农医类)第五题是:“如图,在平面直角坐标系中,给定y轴正半轴(坐标原点除外)上两点A、B。试在X轴正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值。”这是一道求函数最值问题的典型题。它有许多种解法。     

巧用圆的相关角性质解题

圆的相关角性质是平面几何的重要组成部分,在高中数学解题中也得到应用,现举三例。例1 如图1,平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值。(一九八六年全国高考试题)     

一道高考陈题应用背景的挖掘

平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB取得最大值．     

函数及其图象

A组一、选择题1. (北京市 )函数 y =x - 3的自变量 x的取值范围是 (　　 )(A) x≥ 3.　　　　　 (B) x >3.(C) x≠ 3. (D) x≤ 3.2 . (安徽省 )函数 y =x1- x中自变量 x的取值范围是 (　　 )(A) x≠ 0 . (B) x≠ 1.(C) x >1. (D) x <1且 x≠ 0 .3. (甘肃省 )点 M(3,- 4)关于 x轴的对称点 M′的坐标是 (　　 )(A) (3,4 ) . (B) (- 3,- 4) .(C) (- 3,4 ) . (D) (3,- 4) .4 . (安徽省 )点 P(m,1)在第二象限内 ,则点 Q(- m,0 )在 (　　 )(A) x轴正半轴上 . (B) x轴负半轴上 .(C) y轴正半轴上 . (D) y轴负半轴上 .5 . (河北省 )在平面直…     

第五题是一题多解的好试题

一九八六年高考数学试题(理工农医类)第五题: 如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B。试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值。本题解法较多,主要有两大步骤:一是建立所求角的函数式;二是求此函数的最大(小)值。这两大步骤交叉可得十余种解     

例谈转化的思想方法

在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法,称为转化的思想方法.一、借助函数进行转化有些数学问题,本身并无明显的函数关系,但经仔细分析后,可以找到一个函数,通过对此函数的研究,运用函数的有关性质,打通解题思路.例1在平面直角坐标系中,与y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.解析:此题转化为正切函数求解.设点A的坐标为(0,a),点B的坐标为(0,b),a>b>…     

一道中考题的解法、变式与推广

题目已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，如图1，连结OC，则OC的长的最大值是——．     

"一鸟三石"话解题

例题已知过点P(9,(√3))的直线m与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则A、B两点间距离的最小值为_____. 分析:本题是一道常规的解析几何题,从不同角度思考,有下面三种常见解法:     

把握问题本质 立足数学建模 生成解法多样——抛物线中三角形面积最值的解法探究

<正>1 试题呈现(2018年山东泰安第24题)如图1,在平面直角坐标系中,y=ax~2+bx+c交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△ABC为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标,若不存在,请说明理由.2 特点解     

一次函数问题中常见的错误

<正>一、以特殊代替一般造成错解例1(2010年江苏省泰州市中考题)在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB,求k的值。     

如何破解线段最值里的“三截棍”

<正>线段最值,包括一条线段,两条线段和甚至多条线段和的最值,通常解决的思路是化成一条线段,利用"两点之间线段最短"或"垂线段最短"来解决,当然在加入圆相关概念之后,可用定理会更多.多条线段和的最值也被归纳为"胡不归+阿氏圆"模型,当然,核心依然是上述基本定理.题目如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E.连接BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点B、D重合),过点M作MN⊥BD,     

寻题根 思题源 解法自然成

<正>本文以几道中考题为例,谈谈解题的思考过程,以供交流、探讨.一、题目题1(2015年镇海中考题)如图1,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,3)分别是x轴,y轴上的两点,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,点D在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上.将正方形沿x轴负半轴方向平移___个单位长度后,点C恰好落在该反比例函数图象上.     

从1986年一道高考试题谈中学数学教学

我去年参加了本区高考数学阅卷及卷面分析工作,了解到一些情况.很多教师认为1986年的高考数学试题是份成功的试题,命题的原则继承了往届“植根于课本,来源于教材,着眼于提高”的优点.多数试题都能在教材中找到它的“原型”或“影子”,但试题又不拘泥于课本,有的题属于灵活运用基础知识的“综合题”.如理工科数学试卷第五题就具有这样的特点.现将该题的解法分析如下:题目:如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.这是一道求函数最值问题的典型题,它有多种解法.     

12.3 直线与圆的位置关系

考测点导航 1.相交弦、切割线、切线长定理及其推论; 2.这些定理及推论和函数知识相联系后证明圆中的比例线段或求角、求线段长。典型题点击一、已知如图12-15,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,1为半径的圆与x轴相切于原点O,点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D。     

平面向量中一个重要定理的多角度研究

正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0     

巧用对称性解题两例

在平面几何中,有“同弧所对的圆周角大于圆外角”的定理.在解几中,这个定理可引申为:如图,M为x轴的正半轴上的一个动点,两定点A、B在y轴的正半轴上,当且仅当经过A、B两点且与x轴相切的圆,切点M使张角∠AMB最大. 本文举例说明这一结论的应用. 例1 E、F是圆x2/4 y2/2=1的左、右焦点,l是椭圆的准     

一道中考题的再思考

题目已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，如图1，     

具有高数背景的两个极值问题的初等解法

<正>在实际应用过程中,尤其是最优化问题中,我们经常遇到求条件极值的问题.在高等数学有关理论中,拉格朗日乘数法提供了系统化的解决办法,但在求解某些问题时,如果利用基本不等式等方法,解决过程会大大简化,而且更加直观.本文给出两个具有高数背景的极值问题的初等解法,供参考.例1在空间直角坐标系Oxyz中作一个经过点D(1,1,1)的平面Π,且分别与x轴,y轴,z轴的正半轴交于A、B、C三点,求三棱锥O