偶数阶超级幻方

一个n2阶的幻方,如果它的行和、列和、斜和及n×n子方块和都相同,称之为超级幻方,如果对全部n×n子方块要求不满足,但有一部分满足要求,便称为半超级幻方,本文证明了:若n=4k,则存在n2阶超级幻方,若n=4k+2,则存在n2阶半超级幻方.     

浅说幻方

幻方是将1～n2(整数n≥3)这n2个连续整数填入n×n方格中,使得它的每行、每列以及两条对角线上的数字和都相等的数表,其中的n称为"阶".幻方又称"纵横图",也叫"魔方阵",n是几时就叫几阶幻方.例如3阶幻方,4阶幻方,5阶幻方等等.对于幻方,我国宋代著名数学教育家杨辉(1227～1279)曾专门研究过它,下面给出一些简单幻方的制作方法.     

非素数阶幻方的构造

基于矩阵运算,给出任意双偶数阶和非素数阶幻方的新构造方法:1)由任一低阶m(m为偶数且m≠2)幻方生成一高阶2m阶幻方;2)利用已知的m(m≠2)阶和n(n≠2)阶两个幻方,构造任意的非素数mn阶幻方,加强一些条件后,进一步提出构造两类高级幻方(泛对角线幻方和关联幻方)的新方法.     

4n阶标准二次幻方的构作

给出标准二次幻方及等重集的概念.利用2n阶正交截态拉丁方,Z4n={0,1,…,4n-1}的对称2次等幂和等分（划分）以及方阵的简单变换构作了4n（n≥2,n≠3）阶标准二次幻方.由于n=3时,存在12阶标准二次幻方,而n=1时,不存在4阶标准二次幻方,故4n阶标准二次幻方的存在性已经完全解决.     

第2类4n阶优化雪花幻方的最快构造方法

前言在文[1]中,作者用3张图(奇数阶1张、偶数阶2张)解决了n≥3时任意n阶幻方的构造问题。各种特殊幻方的构造还可以探索。对于4n阶雪花幻方。可以用5类最快方法构造:分别用d=1、d=16、d=4、d=2、d=8的16个等差数列n阶方阵构造之。本文将用d=16的16个等差数列n阶方阵,构成4n阶优化雪花幻方,是为第2类4n阶优化雪花幻方的最快构造方法。     

等差数列法构造双偶阶亲子幻方

1 前言 幻方为一著名组合算题,n阶幻方指1～n2个连续的自然数布满一个n×n的方阵,使每一行、每一列及主副对角线元素之和均等于(n3+n)/2(称"幻和").     

偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法

本文给出 (一)偶偶阶幻方的一种新的构造法及证明。 (二)偶奇阶幻方的边界构造法的模式。 (三)由奇阶幻方得出奇阶正交拉丁方方法。 n阶幻方是由正整数1到n~2组成,且每行每列每条对角线的元素之和均相等之方阵。此和称幻和S(n)=n/2(n~2+1)。     

用第1类4阶等值全对称幻方砌块构成的4n阶全对称幻方

前言作者在“4n阶优化全对称幻方的最快构造方法”一文中,曾推论其共轭幻方是由n~2个4阶等值全对称幻方砌块构成.本文将证明这个推论,这种砌块称为第1类砌块.第1类砌块除了可以构造4n阶全对称幻方外,还可用以构造8n阶标准幻立方和16n阶最佳幻立方,另文分别构造论证之.     

2~m 阶幻方的生成

<正> 本文给出用生成矩阵来构造2~m 阶幻方的一般方法.它不仅能用于生成普通幻方,还能用于生成超幻性幻方,幻立方以及更一般的幻 n 方,稍加修改也可用来生成拉丁方和均匀分布伪随机数.§1.2~m 阶正规幻方及其幻性一个 n 阶正规幻方(以下简称幻方),就是在一个 n×n 的方阵中,对于数0到 n~2-1的一种安排,使得每行的和,每列的和以及两条主对角线的和都相等.对于 n=2~m 阶幻方,还可以使包括次对角线在内的所有对角线的和相等,这种性质称其为对角线幻性.既具有一般幻性,又具有对角线幻性的幻方,不妨称其为具有超幻性.图1就是具有超幻性     

介绍一种任意奇数阶幻方的简便构造方法

一、幻方: 幻方是一种数字方阵,通常是指由1至n2,这n2个自然数构成的方阵,这种方阵的每一横行、每一竖列,以至于每条对角线上的n个数的和都等于:     

对角方阵的变换群

在不改变对角方阵各行、各列、主对角线、次对角线的元素之集的条件下,其变换群是n次对称群S_n的直积S_n×S_n的子群,因对角拉丁方、对角拉丁方正交侣、幻方、高次幻方、加乘幻方均属此类方阵,本文对构作这类对象及研究它们的计数有重要意义.     

2n+2阶完美幻方的二进制构造法及其计数

利用二进制构造出2<'n+2>阶和谐方,由此给出一类"0～2<'2n+4>-1"域上的2<'n+2>阶完美幻方,这类幻方共有2<'6n+4>×(2n+4)!个.     

用线性取余变换造正交拉丁方和幻方

本文利用线性取余变换造正交拉丁方、幻方和泛对角线幻方。文［１］造奇数阶正交拉丁方的方法，文［２］的方法都本文方法的特例。     

一种4N阶幻方构造方法的论证

一种 4 N阶幻方构造方法被发现 .本文阐明了 4 N阶幻方构造方法 ,介绍了 12阶幻方构造过程 .     

任意双偶阶幻方构造规律的研究

本文着力于任意双偶阶幻方构造规律的研究。在文中，作者引入一个新概念，即所谓四阶传递幻方基，并借助电子计算机构造出造型优美的任意双偶阶幻方且阶数不封顶。     

Construction of Normal Bimagic Squares of Order 2u

Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series - An n × n matrix A consisting of nonnegative integers is a general magic square of order n if the sum of elements in each row, column, and...     

Striking patterns in natural magic squares’ associated electrostatic potentials: Matrices of the 4th and 5th order

A magic square is a square matrix whereby the sum of any row, column, or any one of the two principal diagonals is equal. A surrogate of this abstract mathematical construct, introduced in 2012 by Fahimi and Jaleh, is the “electrostatic potential (ESP)” that results from treating the matrix elements of the magic square as electric charges. The overarching idea is to characterize patterns associated with these matrices that can possibly be used, in the future, in reverse to generate these squares. This study focuses on squares of order 4 and 5 with 880 and 275,305,224 distinct (irreducible/unique) realizations, respectively. It is shown that characteristic patterns emerge from plots of the ESPs of the matrices representing the studied squares. The electrostatic potentials for natural magic squares exhibit a striking pattern of maxima and minima in all distinct 880 of the 4th order and all distinct 275,305,224 of the 5th order matrices. The minimum values of ESP of Dudeney groups are discussed. Equipotential points and certain constants are found among the ESP sums along horizontal and vertical lines on the square lattice. These findings may help to open a new perspective regarding magic squares unsolved problems. While mathematics often leads discovery in physics, the latter (physics) is used here to detect otherwise invisible patterns in a mathematical object such as magic squares.     

单偶阶幻方──任意阶幻方构造规律研究

作者在完成任意阶奇阶幻方及任意阶双偶阶幻方研究的基础上，进一步探索任意价单偶阶幻方构造规律．文中提供的系列公式及方法解决了任意阶单偶阶幻方的计算及编制问题，并可借助电算程序快速、准确地编排出造型多样且阶数不封顶的任意价单偶阶幻方