梯图的点可区别全染色（n≡4（mod8））

一个图的全染色被称为点可区别的即对任意两个不同点的相关联元素及其本身所构成的色集合不同,其中所用的最少颜色数称为G的点可区别全色数。本文定义了一种排序方法：三角排序。利用该排序的结果证明了当n≡4（mod8）和C4n-1/2＋2〈m≤C4n/2＋2时,梯图Lm■Pm×P2的点可区别全色数为n。     

梯图的点可区别全染色（n≡5（mod8））

一个图的全染色被称为点可区别的即对任意两个不同点的相关联元素及其本身所构成的色集合不同。其中所用的最少颜色数称为G的点可区别全色数。本文定义了一种排序方法：三角排序。利用该排序的结果证明了当n≡5（mod8）和C4n-1/2＋2〈m≤C4n/2＋2时,梯图Lm≌Pm×P2的点可区别全色数为n。     

随机图的点可区别V-全染色算法

图[G]的点可区别V-全染色就是相邻的边、顶点与其关联边必须染不同的颜色,同时要求所有顶点的色集合也不相同,所用的最少颜色数称为图[G]的点可区别V-全色数。根据点可区别V-全染色的约束规则,设计了一种启发式的点可区别V-全染色算法,该算法借助染色矩阵及色补集合逐步迭代交换,每次迭代交换后判断目标函数值,当目标函数值满足要求时染色成功。给出了算法的详细描述、算法分析和算法测试结果,对给定点数的图进行了点可区别V-全染色猜想的验证。实验结果表明,该算法有很好的执行效率并可以得到给定图的点可区别V-全色数,并且算法的时间复杂度不超过[O(n3)]。     

随机图的点可区别全染色算法

点可区别全染色(VDTC)是指在满足正常全染色的基础上,还要使得图中由顶点颜色和其关联边颜色构成的顶点色集合也不同,所使用的最少颜色数称为点可区别全色数.提出了一种针对随机图的点可区别全染色算法,算法的基本思想是对图G中的边随机地进行预染色,查找存在边染色不正常的冲突集,然后根据规则逐步迭代,直至使目标函数的值满足要求,此时说明染色成功.实验结果表明,算法能够有效地求得给定点数随机图的点可区别全色数,算法时间复杂度不超过O(n3).     

若干多重Mycielski图的邻点可区别I-全色数

根据路和星、圈的多重Mycielski图的结构性质,用穷染递推的方法,讨论了图Mn(Cm)和Mn(Pm),以及Mn(Sm)的邻点可区别I-全染色,得到了图Mn(Sm)和Mn(Pm)的邻点可区别I-全色数等于它们的最大度,图Mn(Cm)的邻点可区别I-全色数在m=4,5时等于它的最大度加1,其余情况等于它的最大度,即分别给出图Mn(Sm)和Mn(Cm)、Mn(Pm)一种染色方案.     

若干多重Mycielski图的邻点可区别Ⅰ-全色数

根据路和星、圈的多重Mycielski图的结构性质,用穷染递推的方法,讨论了图Mn(Cm)和Mn(Pm),以及Mn(Sm)的邻点可区别I-全染色,得到了图Mn(Sm)和Mn(Pm)的邻点可区别I-全色数等于它们的最大度,图Mn(Cm)的邻点可区别I-全色数在m=4,5时等于它的最大度加1,其余情况等于它的最大度,即分别给出图Mn(Sm)和Mn(Cm)、Mn(Pm)一种染色方案。     

一种应用于完全图的点可区别强全染色新算法

设f是简单图G的一个正常k-全染色,若G中任意两点所关联的点及其关联边的颜色所构成的集合互不相同,则称f为G的K-点可区别强全染色,k中的最小值为G的点可区别强全色数。针对完全图的点可区别强全染色的特点,提出一种新算法。该算法把需要填充的颜色分为两部分:超色数和正常色数,在分别得到其染色数量和染色次数的前提下先对超色数进行染色以增强算法的收敛性。实验结果表明,该算法能有效地解决完全图的点可区别强全染色问题。     

随机图的邻点可区别VI-均匀全染色算法

邻点可区别[VI]-均匀全染色是指图中任意两条相邻边分配不同的颜色,且任意两个色类（点或边）的颜色个数最大相差为1,同时确保相邻顶点的色集合不同,其所用的最少颜色数称为图的邻点可区别[VI]-均匀全色数。提出了一种针对随机图的邻点可区别[VI]-均匀全染色算法,该算法依据染色条件设计了三个子目标函数和一个总目标函数,并依据交换规则逐步迭代寻优,直至染色结果满足总目标函数的要求。同时给出了详细的算法执行步骤,并进行了大量的测试和分析,实验结果表明,该算法可以高效地求出给定顶点数的图的最小邻点可区别[VI]-均匀全色数。     

完全图的点可区别全染色算法

设f是图G的一个正常的k-全染色,若G中任意两点的色集不同,则称f为G的k-点可区别全染色,简记为k-VDTC of G,,并称最小的k为G的点可区别全色数。该文针对完全图的点可区别全染色的特点提出了分类顺次着色算法,该算法首先按照一定的规则对元素进行分类然后对元素进行顺次着色,同时给出关联锁表,根据关联锁表判断是否得到问题的解。实验结果表明:该算法有效地解决了完全图的点可区别全染色问题。     

多目标优化的图的邻点可区别均匀V-全染色算法

图的邻点可区别均匀V-全染色（AVDEVTC）是指在满足邻点可区别V-全染色的基础上,还要保证每种颜色的使用次数相差不超过1,把完成AVDEVTC所用的最少颜色称为图的邻点可区别均匀V-全色数（AVDEVTCN）。针对图的AVDEVTC问题,提出了一种基于多目标优化的染色算法。设计了一个总目标函数和四个子目标函数,在染色矩阵上通过每个点的颜色集合的迭代交换操作,使得每个子目标函数都达到最优,进而满足总目标函数的要求,完成染色。经过理论分析和实验对比表明,8个顶点以内的所有简单连通图都存在AVDEVTC,且图的AVDEVTCN介于最大度加1与最大度加2之间。实验结果表明,该染色算法能够在较短的时间内正确地计算出1000个顶点以内的图的AVDEVTCN。     

Not necessarily proper total colourings which are adjacent vertex distinguishing

Let G be a simple graph with no isolated edge. Let f be a total colouring of G which is not necessarily proper. f is said to be adjacent vertex distinguishing if for any pair of adjacent vertices u, v of G, we have C(u)≠C(v), where C(u) denotes the set of colours of u and its incident edges under f. The minimum number of colours required for an adjacent vertex distinguishing not necessarily proper total colouring of G is called the adjacent vertex distinguishing not necessarily proper total chromatic number. Seven kinds of adjacent vertex distinguishing not necessarily proper total colourings are introduced in this paper. Some results of adjacent vertex distinguishing not necessarily proper total chromatic numbers are obtained and some conjectures are also proposed.     

路图的Smarandachely全染色算法*

设f是简单图G的一个正常的k-全染色,若G中任意两点的点及其关联边的颜色构成的集合互不包含,则称f为G的k-Smarandachely全染色,这样的k中最小者称为G的Smarandachely全色数。针对路图的Smarandachely全染色问题,提出了一种新算法。算法采用三元组编码方式将问题进行转化,按照给定规则生成三元组队列,并对该队列内部排序进行变换调整。同时,给出两个判断函数,根据函数的值判断是否得到问题的解。实验结果表明,该算法可以有效地解决路图的Smarandachely全染色问题。     

外1-平面图的均匀边染色

图[G]的[s]-均匀边[k]-染色是指用[k]种颜色对图的边进行染色,使得图[G]的每个顶点所关联的任何两种颜色的边的条数至多相差[s]。使得对于每个不小于[k]的整数[t],图[G]都具有[s]-均匀边[t]-染色的最小整数[k]称为图[G]的[s]-均匀边色数阈值。文中证明了外1-平面图的1-均匀边色数阈值最多为5,不含有相邻的3圈的外1-平面图的均匀边色数阈值最多为4,外1-平面图的2-均匀边色数阈值恰好为1。     

随机图的正常均匀全染色算法

目前对图的均匀全染色的研究仅限于一些如完全图、正则图等特殊图,还没有发现用于研究一般简单连通图的正常均匀全染色的算法。为了研究一般图的正常均匀全染色,根据正常均匀全染色的点约束、边约束、点边约束和均匀约束四个约束规则,设计了一种新的启发式智能算法。首先,该算法确定四个子目标函数和一个总目标函数;然后,在每个子目标函数内借助染色矩阵及色补集合矩阵逐步迭代交换,直到子目标函数值为0时,子目标染色完成;最后,当每个子目标函数值都为0时,总目标函数值为0,染色成功。实验结果表明,该算法可以生成8个点以内的所有简单连通图,并能对每个生成图进行正常均匀全染色,得到其均匀全色数,且验证得对任意的正整数k,当3≤ k≤ 9时,随机图G都有k-均匀全染色。同时在20到400个点之间选取了72个图,用所提算法对其进行均匀全染色,并依据染色结果绘制了它们的点数-边密度-所需色数关系图。     

An effective heuristic algorithm for sum coloring of graphs

Given an undirected graph G=(V,E), the minimum sum coloring problem (MSCP) is to find a legal vertex coloring of G, using colors represented by natural numbers (1,2,…) such that the total sum of the colors assigned to the vertices is minimized. In this paper, we present EXSCOL, a heuristic algorithm based on independent set extraction for this NP-hard problem. EXSCOL identifies iteratively collections of disjoint independent sets of equal size and assign to each independent set the smallest available color. For the purpose of computing large independent sets, EXSCOL employs a tabu search based heuristic. Experimental evaluations on a collection of 52 DIMACS and COLOR2 benchmark graphs show that the proposed approach achieves highly competitive results. For more than half of the graphs used in the literature, our approach improves the current best known upper bounds.     

Adjacent vertex-distinguishing edge and total chromatic numbers of hypercubes

An adjacent vertex-distinguishing edge coloring of a simple graph G is a proper edge coloring of G such that incident edge sets of any two adjacent vertices are assigned different sets of colors. A total coloring of a graph G is a coloring of both the edges and the vertices. A total coloring is proper if no two adjacent or incident elements receive the same color. An adjacent vertex-distinguishing total coloring h of a simple graph G=(V,E) is a proper total coloring of G such that H(u)≠H(v) for any two adjacent vertices u and v, where H(u)={h(wu)|wu∈E(G)}∪{h(u)} and H(v)={h(xv)|xv∈E(G)}∪{h(v)}. The minimum number of colors required for an adjacent vertex-distinguishing edge coloring (resp. an adjacent vertex-distinguishing total coloring) of G is called the adjacent vertex-distinguishing edge chromatic number (resp. adjacent vertex-distinguishing total chromatic number) of G and denoted by (resp. χat(G)). In this paper, we consider the adjacent vertex-distinguishing edge chromatic number and adjacent vertex-distinguishing total chromatic number of the hypercube Qn, prove that for n?3 and χat(Qn)=Δ(Qn)+2 for n?2.