端点约束加权正交基与Bernstein基的转换及应用

为了在计算机辅助几何设计(CAGD)中,有效地求解在Jacobi加权L2范数下Bézier曲线约束最佳降多阶逼近问题,推导具有端点约束特征的加权正交基与Bernstein基之间的转换矩阵.利用Bernstein基构造端点约束加权正交基,给出约束加权正交基与Bernstein基的相互转换矩阵,利用该矩阵给出具体的端点约束最佳降多阶矩阵和该降阶逼近的可预报的误差公式,提出在L2、L1、L∞范数下适合于最佳降阶逼近的相应Jacobi基的权函数的选取方案.通过具体实例对逼近算法进行演示与分析.结果表明,该算法表示简单,易于实现.     

带形状参数Bézier曲线的G~1连续降阶方法的研究

基于L2范数下的n次带形状参数Bézier曲线,给出了一种在G1连续条件下的一次降多阶逼近方法.求出待降阶曲线和降阶逼近曲线在L2范数下的误差函数,利用共轭梯度迭代法使其最小化,得到新的降阶逼近曲线的控制顶点.并且利用数值实例,与其它降阶方法相比较,说明本文方法更有效.     

悬链线的AH Bézier样条表示

该文讨论了无荷重悬链线的样条精确表示问题。利用代数双曲函数空间中的4阶AH Bézier样条基函数,引入一个线性变换,先确定样条曲线的形状因子,再根据AH Bézier曲线的端点性质和一阶导矢值,确定反求的控制顶点。可以精确表示一段无荷重悬链线。算法具有明显几何意义。     

基于公差带的二次连续贝塞尔曲线刀具轨迹平滑算法

为提高加工路径的光滑性和精度,在分析现有样条拟合方法不足的基础上,提出了一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法。该算法根据双弓高误差限制,从由离散小线段构成的加工路径中识别出连续微小线段加工区域。对于连续微小线段加工区域,首先,对离散的指令点进行局部插值,将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线;然后,调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向,使加工路径达到G2连续性;最后,通过建立公差带将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构。实验结果表明:该算法实时性好,生成的加工轨迹满足G2连续性和精度要求,实现了在线轨迹平滑处理,有效提高了加工效率。     

有理Bézier曲线的权因子与参数射影变换

给出了有理n次Bézier曲线上点的参数与权因子之间的对应关系,导出了有理n次Bézier曲线的n-1个形状不变因子。得到了与权因子变换对参数化有同样影响的参数射影变换,2种变换都不改变曲线的形状和首末端点,仅仅改变了曲线上的点与定义域内点的对应关系。     

球域Bézier曲面的精确边界及其多项式逼近

为全面控制产品表面与理论曲面之间的偏差,引入球域Bézier曲面的定义,作为圆域Bézier曲线在三维空间的推广形式.根据经典微分几何中双参数曲面族的包络原理,运用球面参数坐标和Cramer法则,给出了球域Bézier曲面边界的精确数学显式表达式.依据函数逼近论中Legendre多项式的正交性,得到了采用多项式形式表示的球域Bézier曲面的精确边界的最佳平方逼近.进一步利用Legendre基与Bernstein基的转换公式,采用计算机辅助设计(CAD)系统中常用的Bézier形式表示球域Bézier曲面的近似边界.该算法表示简单,易于实现.通过具体实例对逼近效果进行演示与分析,结果表明该算法的逼近误差小,效果好.     

拟三次Bézier曲线

给出了一组含有2个参数的多项式基函数,它是三次Bernstein 基函数的扩展;基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线,称之为拟三次Bézier(Q-Bézier)曲线.Q-Bézier曲线不仅具有三次Bézier曲线的特征,而且在控制多边形保持不变的条件下,具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性.形状参数具有明显的几何意义:控制曲线端点的性质.最后,给出了一些图形实例.     

可调的类三次Bézier三角插值曲线

Bézier曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线,以可调的类三次Bézier三角曲线为例,对可调的类三次Bézier三角曲线的性质进行了分析,并由此推出可调的类三次Bézier三角曲线比三次Bézier曲线更光滑.然后,构造了可调的类三次Bézier三角插值曲线.该曲线继承了Bézier曲线的一些优良特性,并能充分克服Bézier曲线不能精确表示二次曲线曲面以及某些超越曲线曲面的弱点.最后实例表明了新的插值曲线应用于几何造型的有效性.     

基于船体放样的三角Bézier曲线的逼近

在对形状参数为λ,μ的三角Bézier曲线的基函数及曲线端点特性分析的基础上,选择三角Bézier曲线中的控制参数和控制顶点,构造一条符合船体放样要求的三角Bézier曲线来逼近船型曲线(平面三次分段曲线),结果表明三角Bézier曲线是局部存在的,并且增强了三角Bézier曲线的控制及逼近曲线形状的能力,此法直观、简明,易于操作,并可进一步推广到其它曲线或曲面的逼近。     

带有给定切线多边形的G2连续Bézier闭曲线

描述了一种与给定多边形相切的五次Bézier曲线的算法。在算法中,所有的五次Bézier曲线的控制点可以通过对多边形的顶点简单计算产生。所构造的曲线对多边形具有保形性,曲线可以局部修改,最后给出了一个算例。     

有理Bézier曲线的多项式逼近新方法

针对有理曲线多项式Hybrid逼近未必收敛及计算较繁的局限性,给出了以原有理Bézier曲线之升阶曲线的控制顶点为顶点的多项式Bézier曲线,来逼近原有理曲线的一类简单逼近方法.与此同时,为追求较高逼近速度,导出了有理Bézier曲线多项式逼近的一个矛盾方程组,并进一步基于广义逆矩阵理论,给出了其用矩阵表示的最小二乘解.最后借助以原有理曲线权因子为Bézier纵标的多项式的升阶,使得多项式逼近的曲线次数保持不变的同时大幅度提高了逼近精度．     

两相邻CE-Bézier曲线的近似合并

为了进一步丰富和发展CE Bézier曲线的相关理论,针对该曲线的近似合并问题,提出了一种将两相邻CE Bézier曲线合并成1条CE Bézier曲线的方法. 该方法通过将曲线拟合方法与广义逆矩阵理论相结合,直接得到合并后CE Bézier曲线控制顶点的显示表达式,同时给出了具体的合并误差. 实验结果表明,新方法不仅可获得较好的合并效果,而且具有易于实现、误差计算简单的特点,可广泛应用于计算机辅助设计中对曲线的近似合并.     

以已知曲线为渐进线的可展曲面束的设计

研究插值一条任意参数曲线并以其为渐近线的可展以及有理可展曲面束的设计问题. 基于插值一条任意参数曲线并以其为渐近线的一般曲面束的表达式, 给出该曲面束为可展情形的表达式.讨论所设计的可展曲面束的类型,推导插值Bézier曲线并以其为渐近线的有理Bézier可展曲面束表达式. 开展以圆柱螺线、圆锥螺线和Bézier曲线为渐近线的一般可展曲面以及有理Bézier可展曲面的编程实例, 验证了该算法的准确性和有效性．     

NURBS曲面显式降多阶逼近

针对由于几何图形最高阶数不同而引起的NURBS曲面降阶逼近问题，基于NURBS曲面的显式矩阵表示，结合Chebyshev多项式逼近理论，提出了一种NURBS曲面降阶新方法.分别对一小片NURBS曲面和整张NURBS曲面进行降多阶，并导出了误差界计算公式.当对整张曲面降阶时先分别对各小片操作，再对各片降阶逼近曲面的控制顶点，集中其下标相重的部分做加权平均得到最终的整张降阶逼近曲面.提出的算法可以一次降多阶，所得NURBS降阶逼近曲面具有显式表达式，实现了NURBS曲面降阶的最佳或近似最佳一致逼近.     

基于Hausdorff距离的曲线降阶算法

Hausdorff距离常被用于衡量两条曲线间的逼近效果。该文以Bézier曲线为例,提出了基于分段二次函数重新参数化的新算法,用于求解平面或空间曲线的降阶逼近问题。理论上该文算法同样适用于B样条曲线等的逼近问题。数值例子表明了新算法可以具有Hausdorff距离下更好的逼近效果。     

对数螺线段的多项式逼近与C-Bézier逼近

为了适合当前计算机辅助设计(CAD)系统中的曲线形式和工业设计中的美学需要, 提出了对数螺线段的两种逼近方法：（1）利用s-Power级数, 推导出s-Power系数的计算公式, 给出了对数螺线段的快速多项式逼近算法、对数螺线的等距曲线的具体表达式及其s-Power逼近算法;（2）首先推导出两端点C-Bézier形式的G2Hermite插值公式, 然后提出了对数螺线段的C-Bézie表示的G2Hermite插值逼近算法. 实例运算结果表明, 两种逼近方法是正确与有效的, 完全适合CAD系统使用．     

平面代数曲线的PH-C曲线逼近

代数曲线的近似参数化问题是计算机辅助几何设计与图形学领域的一个重要问题.由于PH-C曲线综合了Bézier曲线,PH曲线以及C曲线的许多优良性质,从而用PH-C曲线逼近代数曲线就显得十分必要.首先根据曲线的凹凸区间和单调区间对代数曲线进行合理分割,然后根据曲线段两端点的切线确定曲线段的三角形凸包,进一步根据此三角形凸包确定3次PH-C曲线的控制多边形,这样得到的PH-C逼近曲线保持了原代数曲线的一些重要几何性质,如单调性、凹凸性和G1连续性,并且通过算法的递归调用,可以将逼近误差控制在给定的范围之内.数值实验表明,该算法提供了平面代数曲线近似参数化的一条有效途径.