关于自然数乘法分拆数上界的一个注记

本文讨论了乘法分拆数ｆ（ｎ）的上界，证明了以下结论：对任意的α，Ｏ＜＜１，存在自然数的无限序列｛ｎｒ｝，使ｆ（ｎｒ）＞ｎαｒ     

关于自然数乘法分拆数上界的改进

关于自然数n的乘法分拆数f(n)的上界,1983年J.O.shallit提出了二个猜想:f,(n)≤n,及f(n)≤n/logn(n≠144)。此二猜想分别于1986年、1990年得到证明,本文改进了这一上界,得到以下的结论:对一切满足n≥10~(23)的自然数n,有f(n)相似文献   

关于奇数的乘法分拆数

设ｆ（ｎ）为自然数ｎ的乘法分拆数，本文证明了下面的定理１若ｎ为奇数，则ｆ（ｎ）≤ｎ／２５＋１１／５。定量２若ｎ〉１３５为奇数，则ｆ（ｎ）≤ｎ／（４ｌｏｇｎ）。     

关于自然数乘法分拆数的一个猜想

本文讨论了自然数n的乘法分拆数f(n)的上界,证明了[1]中的猜想成立。     

两类图的带宽和上界

设Ｇ是有ｎ个顶点的简单图．ｆ：Ｖ（Ｇ）→｛１,２,…,ｎ｝是双射。定义Ｓ（Ｇ）＝ｍｉｎＳｆ（Ｇ）,其中Ｓｆ（Ｇ）＝∑／∈Ｅ｜ｆ（ｕ）－ｆ（ｖ）｜,称Ｓ（Ｇ）为Ｇ的带宽和,得到了树及无三角形图的带宽和上界。     

两种算术函数上下界的讨论

在自然数中，任意自然数ｎ都可由若干个１通过加、减、乘法运算表示出来；也可以去掉减号，由若干个１通过加和乘法表示出来。在ｎ的所有可能的表示法中，我们分别用ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）记这两种表示法中包含１的个数最少的那种表示法中所含１的个数，参考文献［１］中给出了ｆ（ｎ）的一个较强的上下界估计，本文进一步证明了不等式３ｌｏｇ３ｎ≤ｆ（ｎ）≤３．６８ｌｏｇ３ｎ３ｌｏｇ３ｎ≤ｇ（ｎ）≤４．７６ｌｏｇ３ｎ并讨论了∑ｎ≤ｘｆ（ｎ），∑ｎ≤ｘｇ（ｎ），的渐近性质     

二阶矩阵的Bellman迹不等式

Ａ、Ｂ是二阶非负定矩阵时，证明了：ｔｒ（ＡＢ）＾ｎ≤ｔｒ（Ａ＾ｎＢ＾ｎ）（ｎ为自然数），此结果说明Ｒ．Ｂｅｌｌｍａｎ猜想对二阶矩阵成立。     

非线性特征值问题的大范围求解

本文考虑非线性特征值问题：ｆ（ｘ）一λｘ＝０，ｘ￣Ｔｘ一１＝０，ｘ∈Ｒ￣ｎ的求解问题。证明了：（１）当ｎ为奇数；（２）对任意自然数ｎ，当为对称矩阵时，方程至少存在二个实解（或一个重解），同时给出了大范围求解方法，并计算了数值例子。     

乘法分拆函数的均值

设g(n)为自然数n乘法分拆的计数函数.本文主要讨论了g(n)均值的上界估计,证明了 ,此处O常数仅与■(>0)有关.     

分拆函数p（n）的下界

设ｎ为正整数，ｐ（ｎ）是ｎ的分拆的个数，称为ｎ的分拆函数。得到了一个ｐ（ｎ）的下界的结果：对于ｎ〉４８，有ｐ（ｎ）〉ｅ。     

关于Hughues-Shallit猜想——自然数乘法分拆之个数的上界问题

以f(n)表自然数N的乘法分拆的个数。本文证明了:当n=p~a及n=p_1p_2…p_l时,Hughues-Shal-Lit的第一猜想:f(n)≤n/logn,(n≠144)成立。其中p为素数;p_1,p_2,…,p_1为互异素数。第二猜想:f(n)相似文献   

自然数乘法分拆的两个猜想的证明

自然数n分拆为若干个非1正整数因子之乘积形式T:n=Q_1×Q_2×…×Q_t t≥1,Q_i>1叫做n的一个乘法分拆.不究乘积因子之顺序,n之不同乘法分拆个数记为f(n),并令f(1)=1.1983年,John F.Hughes和J.O.Shallit证明了f(n)≤2n~(2~(1/2)),并提出了两个猜想:1° f(n)≤n2° f(n) ≤n/logn n≠144陈小夏在“关于自然数乘法分拆”(《数学学报》,1987;30(2):268—271)一文中证明了猜想1°,并在n=p~a或n=q_1q_2…q_k的特殊情况下证明了猜想2.本文也证明了猜想1°,并改进了陈小夏所证猜想2°的两个特殊情况.     

弦图上团划分数问题的复杂性

本文得到下述结果:(1)在无K_4图上或在弦图上,求团划分数问题是NP——困难的;(2)找到在无K_4弦图上求团划分数的线性算法和在弦图上求团覆盖数的线性算法。     

大边数图的星约束色数

图的Ｐ－色数χ（Ｇ,Ｐ）是对Ｇ的顶点着色,使得每一色类的导出子图具有性质Ｐ的最小颜色数,该文研究χ（Ｇ,Ｐ）,这里Ｐ是星的并这一性质,且把这种Ｐ－色数星约束色数,记为χ（Ｇ,Ｓｔ）,该文给出一些大边数图的星约束色数。     

一个数论问题——自然数圈的等和三段的划分

本文提出一个数论问题,要求求出所有的正整数 n(>3) ,使得自然数圈1,2,3,…,n-1,n 能被划分成三段,每段上的各数之和相等.本文证明了这样的 n 有无穷多个,并用递推公式给出了无穷多个这样的 n.     

循环图的星色数与分数色数

给出了循环图的星色数等于分数色数的一个充分条件 .     

四元环的个数

本文证明了在同构意义下四元环仅有十一个。