二次根式专题之常见错误分析

在二次根式运算过程中,同学们由于对二次根式的概念、性质和运算法则理解不透,常常出现这样或那样的错误.现将几种常见的错误归纳如下.一、混淆公式张冠李戴例1计算:(-5)2姨.错解:原式=-5.例2化简:姨3-2姨2.错解:原式=(1-姨2)2姨=1-姨2.剖析:两题的错解都是因为混淆了公式a2姨=a和(姨a)2=a,正确的应运用a2姨=a,得出的正确答案分别是5和姨2-1,而错解却都是运用(姨a)2=a.如此混淆公式、张冠李戴,不错才怪呢!二、思维定势忽视隐含例3化简:a1-a3姨+a-a1姨.错解:原式=1a-a2姨a+a-aa2姨=aa姨-a+aa姨-a=2姨-a.剖析:受平时字母的取值大多是正数的习…     

三角公式之“三角三姊妹”应用

我们课本上的一道题:已知sinθ+cosθ=2,求sin2θ的值。现3将sinθ+cosθ=2两边平方,易得sin2θ=-5。39顺水推舟,由2sinθcosθ=-5两边乘以-1后再加1得(sinθ-9cosθ)2=14,9姨姨姨姨姨sinθ+cosθ=2姨sinθ+cosθ=2姨姨姨3解方程组姨3姨姨或姨姨姨姨姨姨姨sinθ-cosθ=姨14姨sinθ-cosθ=-姨14姨9姨9姨姨姨姨姨sinθ=2+姨14姨姨姨sinθ=2-姨14姨姨6姨姨6得姨姨姨或姨姨姨姨姨姨姨姨cosθ=2-姨14姨cosθ=2+姨14姨6姨6不难发现sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ之间有着知其一可求     

一道发人深省的中考题

2003年四川省的中考数学试卷里,有一道不起眼的填空小题:已知xy=3,那么xyx姨+yxy姨的值是:.这道题知识含量并不多,只不过是对二次根式的化简求值而已.但是,很多考生都只填了23姨,丢掉了-23姨,失败的教训发人深省.其实,在并不引人注目的外表背后,透射出值得重视的的练习价值.解1先从有理化分母入手.原式=xxyx2姨+yxyy2姨=3姨(xx+yy).当x>0且y>0时,原式=23姨.当x<0且y<0时,原式=-23姨.故应填±23姨.解2先把有理部分移入根号.x>0且y>0时,原式=xy姨+xy姨=23姨.x<0且y<0时,原式=-xy姨-xy姨=-23姨.应填±23姨.解3先代入y=3x.原式=x3x2姨+3xx23姨=x…     

双重根式的化简

形如 a± k b的根式叫做复合二次根式 ,也叫做双重根式 ,下面介绍用配方法化简双重根式 ,供参考 .一、当 k是 2时 ,若能将根号内的式子 a±k b配成完全平方 ,则可将原式化简 ,因此需将常数 a分拆成两个数 ,使这两个数的积等于b,即可 .例 1　 ( 2 0 0 1年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题 )化简代数式 3+ 2 2 + 3- 2 2的结果是 (　　 )( A) 3.　　　　　　　 ( B) 1+ 2 .( C) 2 + 2 . ( D) 2 2 .解 :原式 =2 + 2 2 + 1+ 2 - 2 2 + 1= ( 2 + 1) 2 + ( 2 - 1) 2= 2 + 1+ 2 - 1=2 2 .故选 ( D) .二、如果 k是大于 2的偶数 ,可将这个数中2以外…     

公式z=│z│~2的应用

例1已知复数z的辐角为60°,且｜z-1｜是｜z｜和｜z-2｜的等比中项,求｜z｜.解设z=r(cos60°+isin60°)=r2+3姨2ri,则z的实部为r2.∴z+z=r,zz=r2.由题设知,｜z-1｜2=｜z｜·｜z-2｜.由公式zz=｜z｜2得(z-1)(z-1)=｜z｜·｜z-2｜2姨.∴(z-1)(z-1)=｜z｜穴z-2雪(z-2)姨,∴zz-(z+z)+1=｜z｜zz-2(z+z)+4姨,∴r2-r+1=r·r2-2r+4姨.化简整理得r2+2r-1=0.解得r=2姨-1,r=-2姨-1(舍去).∴｜z｜=r=2姨-1.例2求证:｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2).证明由公式zz=｜z｜2得｜z1+z2｜2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=z1z1+z1z2+z2z1+z2z2=｜z1｜2…     

二次根式“瘦身”十二法

分母有理化是二次根式化简的常用方法 .但这种方法有时候却显得繁难 ,或者无能为力 ;而我们常可从根式的结构特征入手 ,巧妙变形 ,则可以收到“曲径通幽”之效 .现提供二次根式“瘦身”十二法 ,供同学们参考 .一、定义法例 1　化简 :a -1a.解　由算术根的定义知 :　　 -1a >0 ,即a<0 .原式 =-( -a) -1a=-a2 · -1a=--a.二、公式法例 2　化简 :5+ 2 6 + 5-2 6 .解　∵ 5+ 2 6 =( 3+ 2 ) 2 ,　　 5-2 6 =( 3-2 ) 2 .∴原式 =( 3+ 2 ) 2 + ( 3-2 ) 2=3+ 2 + 3-2=2 3.三、拆项法例 3　化简 :6 + 4 3+ 32( 6 + 3) ( 3+ 2 ) .解　原式 =( 6 + 3) +…     

忽视隐含条件的错例分析

正确运用题目中的隐含条件解题 ,对初中同学来讲是个难点 .本文就初中数学解题中学生容易忽视隐含条件而产生的错误 ,谈谈隐含条件的挖掘和利用 .　　 1 .忽视分式中分母不为零的隐含条件例 1　当x为何值时 ,分式 |x| - 2x2 +x- 6 的值为零 .错解 :令　 |x| - 2 =0 ,得x =± 2时分式的值为零 .分析 :这里忽视了分母不为零的隐含条件 .正解 :令　 |x| - 2 =0 ,得x =± 2 .但当x =2时 ,分母x2 +x - 6 =0 ,分式无意义 ,所以只有当x =- 2时 ,分式的值为零 .　　 2 .忽视偶次根式的被开方数为非负数的隐含条件例 2　当b <0时 ,化简aab3+ba3b .错…     

函数值域求法的策略

一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合…     

例谈二次根式问题中的隐含条件

一、在二次根式的定义“一般地 ,式子 a (a≥ 0 )叫做二次根式”中 ,条件 a≥ 0常被命题者作为隐含条件放置在题目中 ,若不注意挖掘 ,要么对问题一筹莫展 ,要么导致错误的结论。例 1 .阅读下面一题的解题过程 ,请判断是否正确 ?若不正确 ,请写出正确的解答。已知 a为实数 ,化简 - 1a。解 :- 1a=- aa2 =- aa 。(2 0 0 1年北京宣武区中考题 )分析 :由于题中仅告知 a为实数 ,没有明确 a的正负性。为了化简二次根式 ,必须从 - 1a中挖掘出 - 1a>0 ,即 a<0 ,因此 ,上述解答忽视了隐含条件的挖掘而致误。正解 :∵ - 1a有意义 ,∴ - 1a≥ 0 ,即 a<0 …     

以数表形式表达的数列题例析

以 数 表 形 式 表 达 的 数 列 问 题 其 形 简 洁 ,其 意 深 刻 ,信 息 量 大 ,能较 好 地 考 查 学 生 观 察 、分 析 、猜 想 归 纳 等 能 力 .本 文 举 例 说 明 对 这 类问 题 的解 法,以飨 读者. 例 1 将 自 然 数 从 小 到 大 排 列成 如 下 图 所示 的 螺 旋 形 表 , 在 2处拐 第 1个弯 ,在 3处 拐 第 2个 弯 ,在5处 拐第 3个 弯… … 21→22→23→24→25→26 ↑ 20 7→ 8→9→10 ↑ ↑ ↓ 19 61→2 11 ↑ ↑ ↓ ↓ 18 5← 4←3 12 ↑ ↓ 17←16←15←14←13 (1)求拐 第 20个弯 处 的数 (2)求拐 …     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题型数值结构特征 ,选用恰当的化简技巧 ,是解决课本二次根式题的关键。一、变换所求 ,以简改繁例 1　已知 x=12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 ) ,求 x2 - xy+ y2 的值。 (课本 P2 2 0第 7题 )解 :当 x =12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 )时 ,原式 =(x- y) 2 + xy　　 =(5 ) 2 + 14 (7- 5 )　　 =112 。二、化简变形 ,化难为易例 2　已知 x=3+ 23- 2,y= 3- 23+ 2,求 xy+ yx的值。 (课本 P2 2 1B组第 3题 )解 :∵ x=- 7- 43,y=- 7+ 4 3,∴ x+ y=- 14 ,xy=1。∴原式 =x2 + y2xy =(x+ y) 2 - 2 xyxy　　　 =(- 14 ) 2 - 2× 1=194。三、变形凑零 ,捷足先登…     

巧用换元法化简二次根式

二次根式的化简常用分母有理化的方法,但用这种方法化简较复杂的二次根式时,常会使你陷入“山重水复疑无路”的困境.若巧用换元法,则会出现“柳暗花明又一村”的景象.下面试举例说明.例1化简1+3(2~(1/2))-2(3~(1/2)     

第二章代数式

一、本章导析本章重点是整式、分式、根式的化简、计算与求值 .难点是公式、法则、算理的正确运用及各种技巧 (包括因式分解 )的使用 ,注意点一是同类项概念中的两个条件缺一不可 ,二是应弄清同类根式与最简根式的异同 ,三是应熟记分式有、无意义及值为零的条件 ,四是应注意二次根式的两个非负性二、例题解析例 1　已知 x=32 +1,求 x2 +x+1x3 - 1- 2 x- 2x2 - 2 x+1的值 .分析 :此题中所求式较为繁杂 ,故应先化简 .解 :原式 =x2 +x+1( x- 1) ( x2 +x +1) - 2 ( x- 1)( x- 1) 2= 1x- 1- 2x- 1=11- x=1- 32 =- 26 .说明 :先化简后代入求值是一…     

隐含条件“隐身”何处(初二、初三)——例说(a~2)~(1/2)的化简

(a2)~(1/2)形式的根式化简求值,是初中数学里的重点也是难点.同学们在化简这类的根式时,由于忽视了字母的取值或取值范围等隐含条件而导致出错.本文就此类问题如何寻求隐含条件,作一些分析,供读者参考.     

求恒不等式中参数取值范围的六种方法

恒不等式问题,往往是把代数、几何、三角有机地结合起来,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点,而学生对此类问题感到比较困难.为此,特举以下例子来探讨它的几种解法.一、变元转换法例1设g(x)=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若在t[-2,2]时,g(x)>0恒成立,求x的取值范围.解p(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,将问题转化成当t眼-2,2演时,p(t)>0,∴P(-2)>0熏P(2)>0 熏即-2(log2x-1)+穴log2x)2-2log2x+1>0熏2(log2x-1雪+(log2x)2-2log2x+1>0 .故08.二、分离参数,最值转换法例2若f(x)=1+2x+3x+…+穴n-1雪x+nx·m姨,其中mR,nN,且n≥2…     

解题时务必充分注意隐含条件

数学问题中常常隐含着一些易被忽视的条件 ,使解题或陷入困境 ,或得到错误结论 .解题时若能注意发现这些隐含条件 ,常能拓展思路 ,优化解题过程 ,使问题迅速而巧妙地得到解决 .1　从概念入手题目所涉及的概念 ,如绝对值、平方根、二次根式、二次函数或二次方程的二次项系数等 ,它们的内涵往往正是解题时所必须使用的 .因此 ,可以从分析概念的本质特征入手 ,寻求解题的途径 .例 1　化简二次根式ａ - ａ + 1ａ2 的结果是 (　　 ) .(Ａ) -ａ - 1　　 (Ｂ) - -ａ - 1(Ｃ)ａ + 1 (Ｄ) -ａ - 1( 2 0 0 1 ,山西省中考题 )解析 :化简的目的是将被开…     

《二次根式》教学设计

正教学内容:人教版初中数学教材八年级下册16章《二次根式》。教学目标:知识与技能:1.理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义。2.会确定二次根式有意义的条件,知道姨a(a≥0)是非负数,并会运用。3.会进行二次根式的平方运算,会对被开方数为平方数的二次根式进行化简。过程与方法:1.先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出二次根式概念。2.通过探究二次根式的条件和结果,达成知识目标2。3.通过探究(姨a)2和a2姨所含运算、运算顺序、运算结果分析,归纳并掌握性质。情感态度与价值观:通过本节的学习来培养学生,准确归纳概念的科学精神,经过探索二次根式是否有意义,发展学生观察、分析、发现问题的能力。     

根据题目结构特点,寻找简便解题方法——解分母有理化难题的体会

分母中含两项以上根式的分母有理化题,如果采用基本方法化简,计算量是很大的,也容易出差错.若能根据题目结构特点,挖掘题中隐含的简便方法(先作适当变形化简),便会减少计算量,从而得心应手获得化简结果.下面分十种类型举例说明.一、有的题应先合并同类项,后分母有理化     

巧妙变形 快速求值

给出已知条件的二次根式求值问题,是二次根式中的常见问题,也是各地中考的热点.对于此类问题巧妙地变形,是快速求解的关键.下面举例说明,相信对提高同学们思维的灵活性、创造性会有所帮助,也有助于提高同学们的解题技能和技巧.一、变形条件式再求值例1已知x=3姨+1,求x27-2x+x2姨的值.解析由x=3姨+1,可得x-1=     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …