线性矩阵方程的埃尔米特广义反汉密尔顿半正定解

利用埃尔米特广义反汉密尔顿半正定矩阵的表示定理,作者建立了线性矩阵方程在埃尔米特广义反汉密尔顿半正定矩阵集合中可解的充分必要条件,得到了解的一般表达式.对于逆特征值问题,也得到了可解的充分必要条件.对于任意一个 n 阶复矩阵,得到了相关最佳逼近问题解的表达式.     

一类矩阵方程的埃尔米特自反最小二乘解

利用埃尔米特自反矩阵的表示定理和矩阵的拉直方法,研究了矩阵方程$AX+BY=C$的埃尔米特自反最小二乘问题,进一步,给出了方程在埃尔米特自反矩阵集合中可解的充分必要条件,得到解的一般表达式,最后,对任意给定的一对复矩阵,得到了其相关最佳逼近问题解的表达式.     

线性映射视角下矩阵的秩

向量空间之间的线性映射是线性代数研究的主要内容之一.从线性映射的视角考察线性代数知识可以更清晰地认识线性代数中重要知识点的本质.利用线性映射知识,对矩阵秩的几个重要命题给出了比较简洁的证明.     

关于位移线性方程组的加速超松弛迭代算法

本文研究关于系数矩阵为位移埃尔米特和位移反埃尔米特矩阵的复线性方程组的简便而有效的分裂迭代算法及其收敛性质.由于复系数线性方程组的系数矩阵由实部和虚部组成,运用松弛加速技术,我们得到了求解位移线性方程组的加速超松弛迭代算法,并分析了这类算法的收敛性质.数值算例表明,这类加速超松弛迭代算法是可行且有效的.     

非埃尔米特正定线性系统的m步预处理的斜埃尔米特和反埃尔米特分裂方法（英文）

进一步研究了非埃尔米特正定线性系统的斜埃尔米特和反埃尔米特迭代方法,并在预处理的斜埃尔米特和反埃尔米特迭代方法的基础上,引入了m步多项式预处理子,证明了预处理的斜埃尔米特和反埃尔米特迭代方法在一定条件下是收敛的,而且得到了预处理的斜埃尔米特和反埃尔米特迭代方法的收缩因子.通过数值例子说明,对于非埃尔米特正定线性系统m步的预处理有效地加速了Krylov子空间方法,例如GMRES.     

线性流形上反埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的最小二乘问题与最佳逼近问题

利用反埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的表示定理,得到了线性流形上反埃尔米特广义汉密尔顿矩阵反问题的最小二乘解的一般表达式,建立了线性矩阵方程在线性流形上可解的充分必要条件．对于任意给定的n阶复矩阵,证明了相关最佳逼近问题解的存在性与惟一性,并推得了最佳逼近解的表达式．     

广义 Hahn-Banach 定理和集值映射的次微分

在这篇论文里,我们讨论了集合值映射的广义 Hahn-Banach 定理的多种形态.最后讨论了集合值映射次微分的存在性.     

离散空间分数阶非线性薛定谔方程的MHSS型迭代方法

利用隐式守恒型差分格式来离散空间分数阶非线性薛定谔方程,可得到一个离散线性方程组.该离散线性方程组的系数矩阵为一个纯虚数复标量矩阵、一个对角矩阵与一个对称Toeplitz矩阵之和.基于此,本文提出了用一种\textit{修正的埃尔米特和反埃尔米特分裂}(MHSS)型迭代方法来求解此离散线性方程组.理论分析表明,MHSS型迭代方法是无条件收敛的.数值实验也说明了该方法是可行且有效的.     

迭代求解复对称线性方程组的收敛性分析(英文)

本文提出求解系数矩阵不是埃尔米特但是对称复矩阵的线性方程组的一种分裂迭代法,详细讨论新方法的迭代矩阵的谱半径,最优参数选择,一些范数性质.证明在合理的假设下新方法是收敛的.最后以数值结果验证了新方法的有效性和可行性.     

以线性空间和线性映射为核心的线性代数体系——高等数学教学内容与体系改革系列谈（之二）

这个专题谈谈为什么线性代数的教学不从行列式、矩阵、线性方程组开始，而从线性空间、线性映射开始?这是考虑到线性代数的教学对提高学生效学素质的独特作用，也由于线性空间和线性映射是线性代数的校心内容理应在线性代数中占核心地位，以线性空间和线性映射为纲贯穿线性代数的各章内容使之形成既有一定独立性又有有机联系的整体。     

一类Toeplitz线性代数方程组的预处理GMRES方法

本文研究一类来源于分数阶特征值问题的Toeplitz线性代数方程组的求解.构造Strang循环矩阵作为预处理矩阵来求解该Toeplitz线性代数方程组,分析了预处理后系数矩阵的特征值性质.提出求解该线性代数方程组的预处理广义极小残量法（PGMRES）,并给出该算法的计算量.数值算例表明了该方法的有效性.     

电缆方程的多重网格并行代数法（英文）

致力于研究求解线性代数方程组的多重网格并行算法,该算法是基于构建矩阵序列的经典Runge-Stuben(RS)方法及其改进的并行修正独立集合(PMIS)方法的.展示了求解离散电缆方程式所得到的线性代数方程组的结果,而电缆方程是用作描述电信号传播的.在求解中用到了GPUPU技术.展示了模型问题在不同尺度的模拟区域上的数值结果.     

有限域上矩阵环的幂映射图

对于一个环或者是乘法群H和一个正整数k,我们可以定义一个有向图G(H,k),称为H上的k次幂映射图.它的顶点集合就是H,并且从a到b有一条有向边当且仅当b=ak.交换环或者交换群上的k次幂映射图一般具有较好的对称性,这方面已经有相当多的结果.本文研究有限域上二阶矩阵环的k次幂映射图,利用线性代数和群论的方法,克服了非交换性带来的困难,得到了这类图的顶点入度的分布和圈长的分布.     

有限域上矩阵环的幂映射图（英文）

对于一个环或者是乘法群H和一个正整数k,我们可以定义一个有向图G(H,k),称为H上的k次幂映射图.它的顶点集合就是H,并且从a到b有一条有向边当且仅当b=ak.交换环或者交换群上的k次幂映射图一般具有较好的对称性,这方面已经有相当多的结果.本文研究有限域上二阶矩阵环的k次幂映射图,利用线性代数和群论的方法,克服了非交换性带来的困难,得到了这类图的顶点入度的分布和圈长的分布.     

AFS结构上矩阵的幂等指数估计

在应用AFS结构(M,τ,X)研究故障诊断问题中,需要寻找正整数r使其满足M2γτ=Mγτ.由于复杂系统对应的AFS结构上矩阵Mτ的阶数较大,为了减少计算量,需要估计出最小的γ.本文给出了基于集合M上的布尔矩阵的概念,并得出其传递闭包的相关性质,在集合M上的布尔矩阵与(0,1)布尔矩阵之间建立一种同态映射并给出其证明,最后运用该映射对r的范围进行了估计.     

Asplund空间中方向上导数和序列法紧性质分析法则

研究了广义微分结构中的集合方向Mordukhovich法锥、集值映射的方向上导数,以及集合和集值映射的方向序列法紧性的分析法则. 基于集合方向Mordukhovich法锥的交集法则,在方向内半紧性假设下,建立了集合的方向Mordukhovich法锥、集值映射的方向上导数的分析法则.此外,借助Asplund乘积空间中集合的方向序列法紧性的交集法则, 在方向内半紧性和相应的规范条件下,建立了集合和集值映射的(部分)方向序列法紧性的加法、逆像、复合等法则.     

本原环理论的一个应用

本文给出一种方法去研究无限矩阵的相似性,并给出几个实例。说明通常线性代数仅仅考虑在同一空间中对基的选取来简化矩阵形式是不够的,重要的还要选取适当的空间。这样,我们才有可能把已给无限矩阵集合通过适当空间及适当的基相似地变成比较简单形式的矩阵集合。     

关于矩阵积AB(A>0,B>0)的特征值的界

对于两个正定埃尔米特矩阵A、B的积AB的特征λ_(?)(1≤i≤n),文[1]曾给出一个估计。本文的定理将给出它的更精确估计。     

线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用

对矩阵的一些运算关系从映射角度考虑,得到概念上的新理解和运算的新技巧.特别是,给出了Frobenius不等式,Sylvester不等式等著名结果的极其简洁的证明,据此探讨了线性代数中有关问题和实例,包括列满秩矩阵的特点等.     

线性代数中构造性证明简析

<正> 在微积分中,微分中值定理,绝对收敛的级数必是收敛的,线性微分方程的求解公式的证明等,都是通过构造一个辅助函数来完成,这是熟知的事实.在线性代数中许多命题的证明,也是通过构造辅助矩阵的方法来完成.然而,一个m×n 阶矩阵共有mn 个元素,构造一个m×n 阶矩阵就要考虑mn 个数(或mn 个函数),在这个意义上说,构造一个辅助矩阵要比构造一个辅助函数复杂些.本文就线性代数对构造性证明进行分析和归纳,进而说明在命题证明中辅助矩阵是如何构造的.2 线性代数中构造性证明简析线性代数中从构造性证明的叙述方式来看,它是属于演绎法,但就其构造过程的思考方法即构造性证明是怎样想出来的,就应属于倒推法.要充分利用命题提供的信息(或条件)由命题的结论开始进行一步一步的