相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理

与经典变分原理相比,基于由微分方程定义的作用量的Herglotz广义变分原理给出了非保守动力学系统的一个变分描述,它不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的动力学过程,而且能够应用于经典变分原理不能适用的非保守或耗散系统.将Herglotz广义变分原理拓展到相空间,研究相空间中非保守力学系统的Herglotz广义变分原理与Noether定理及其逆定理.首先,提出相空间中Herglotz广义变分原理,给出相空间中非保守系统的变分描述,导出相应的Hamilton正则方程;其次,基于非等时变分与等时变分之间的关系,导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式;再次,给出Noether对称变换的定义和判据,提出并证明相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理,揭示了相空间中力学系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系.在经典条件下,Herglotz广义变分原理退化为经典变分原理,与之相应的相空间中的Noether定理退化为经典Hamilton系统的Noether定理.文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子为例说明上述方法和结果的有效性.     

事件空间中Herglotz型非保守Lagrange系统的Noether定理

研究事件空间中Herglotz型非保守Lagrange系统的Noether定理．首先,将Herglotz广义变分原理推广到事件空间,并基于该原理导出事件空间中Herglotz型Lagrange方程;其次,引入无限小变换,研究HamiltonHerglotz作用量的不变性,建立事件空间中Herglotz型Noether对称性的定义,并给出其判据方程;第三,提出并证明事件空间中Herglotz型Noether定理和Noether逆定理．最后,以Emden方程和黏性阻尼振子为例介绍Herglotz型Noether定理的应用．     

时间尺度上Hamilton系统的Noether理论

提出并研究时间尺度上Hamilton系统的Noether对称性与守恒量问题．建立了时间尺度上Hamilton原理,导出了相应的Hamilton正则方程．基于时间尺度上Hamilton作用量在群的无限小变换下的不变性,建立了时间尺度上Hamilton系统的Noether定理．定理的证明分成两步：第一步,在时间不变的无限小变换群下给出证明;第二步,利用时间重新参数化技术得到了一般无限小变换群下的定理．给出了经典和离散两种情况下Hamilton系统的Noether守恒量．文末举例说明结果的应用．     

基于Herglotz型微分变分原理研究相空间中非保守系统的守恒律

为了进一步探究非保守系统的Herglotz变分问题与其守恒律之间的关系,该文提出并研究基于Herglotz型微分变分原理构建相空间中非保守力学系统的守恒律.首先,基于相空间中非保守系统的Herglotz变分问题,建立该系统的Herglotz型微分变分原理;其次,利用广义变分与经典等时变分之间的关系,给出微分变分原理不变性条件的变换,并建立非保守系统的守恒定理,得到了该系统基于Herglotz变分问题的守恒量及其存在条件;再次,导出守恒定理的逆定理,由相空间中非保守系统的已知守恒量可找到无限小变换的空间和时间的生成元.文末举例说明结果的应用.     

时间尺度上Lagrange系统的Hojman守恒量

利用对称性和守恒律, 可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解, 更好地理解其动力学行为. 时间尺度分析将连续和离散动力学模型统一并拓展到时间尺度框架, 既避免了重复研究又可揭示两者之区别和联系. 因此, 通过对称性来探寻在时间尺度的框架下新的守恒定律很有必要. 本文首先建立了时间尺度上Lagrange方程, 利用时间尺度微积分性质导出了时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式; 其次, 依据微分方程在单参数Lie变换群下的不变性, 建立了时间尺度上Lie对称性的定义和确定方程; 最后, 建立了时间尺度上Lie对称性定理并利用上述关系式给出了证明, 得到了时间尺度上Lagrange系统的新守恒量. 当时间尺度取为实数集时, 该守恒量退化为著名的Hojman守恒量. 文末考察了一个两自由度时间尺度Lagrange系统, 在3种不同时间尺度情形下得到了该系统的Hojman守恒量, 数值计算结果验证了定理的正确性.      

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

NOETHER QUASI-SYMMETRY AND APPROXIMATE NOETHER CONSERVATION LAWS FOR WEAKLY NONLINEAR DYNAMICAL EQUATIONS 1)

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明：同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.     

弱非线性动力学方程的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明:同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.      

关于Mei对称性与Noether对称性的关系——以Lagrange系统为例

文章以Lagrange系统为例研究Mei对称性与Noether对称性之间的关系.基于无限小生成元向量作用下Lagrange函数的变分问题,建立了其Euler--Lagrange方程,研究了该变分问题的Noether对称性与守恒量.研究表明:该变分问题的Euler--Lagrange方程,Noether等式和Noether守恒量分别与Lagrange系统Mei对称性的判据方程,结构方程和Mei守恒量完全一致.文末以著名的Emden方程为例说明结果的应用.     

相对论Birkhoff系统的Noether理论

给出相对论Pfaff-Birkhoff原理和相对论Birkhoff方程。定义相对论Birkhoff系统的无限小变换生成元,根据在无限小变换下微分变分原理的不变性,得到相对论Birkhoff系统的Noether定理和Noether逆定理。最后出应用实例。     

A structure-preserving algorithm for time-scale non-shifted Hamiltonian systems

The variational calculus of time-scale non-shifted systems includes both the traditional continuous and traditional significant discrete variational calculus. Not only can the combination of $\Delta$ and $?$ derivatives be beneficial to obtaining higher convergence order in numerical analysis, but also it prompts the time-scale numerical computational scheme to have good properties, for instance, structure-preserving. In this letter, a structure-preserving algorithm for time-scale non-shifted Hamiltonian systems is proposed. By using the time-scale discrete variational method and calculus theory, and taking a discrete time scale in the variational principle of non-shifted Hamiltonian systems, the corresponding discrete Hamiltonian principle can be obtained. Furthermore, the time-scale discrete Hamilton difference equations, Noether theorem, and the symplectic scheme of discrete Hamiltonian systems are obtained. Finally, taking the Kepler problem and damped oscillator for time-scale non-shifted Hamiltonian systems as examples, they show that the time-scale discrete variational method is a structure-preserving algorithm. The new algorithm not only provides a numerical method for solving time-scale non-shifted dynamic equations but can be calculated with variable step sizes to improve the computational speed.     

Hamel框架下几何精确梁的离散动量守恒律

Hamel场变分积分子是一种研究场论的数值方法, 可以通过使用活动标架规避几何非线性带来的计算复杂度, 同时数值上具有良好的长时间数值表现和保能动量性质. 本文在一维场论框架下, 以几何精确梁为例, 从理论上探究Hamel场变分积分子的保动量性质. 具体内容包括: 利用活动标架法对几何精确梁建立动力学模型, 通过变分原理得到其动力学方程, 利用其动力学方程及Noether定理得到系统动量守恒律; 将几何精确梁模型离散化, 通过变分原理得到其Hamel场变分积分子, 利用Hamel场变分积分子和离散Noether定理得到离散动量守恒律, 并给出离散动量的一阶近似表达式; Hamel场变分积分子可在计算中利用系统对称性消除系统运动带来的非线性问题, 但此框架中离散对流速度、离散对流 应变及位形均不共点, 而这种错位导致离散动量中出现级数项, 本文对几何精确梁的离散动量与连续形式的关系及其应 用进行了讨论, 并通过算例验证了结论. 上述证明方法也同样适用一般经典场论场景下的Hamel场变分积分子. Hamel场变分积分子的动量守恒为进一步研究其保结构性质提供了参考依据.      

事件空间中单面约束系统的Noether定理

首先提出了事件空间中单面约束系统的D‘Alembert-Lagrange原理；其次基于微分变分原理在群的无限小变换下的不变性，研究并给出事件空间中单面约束系统的Noether定理及逆定理；最后举例说明结果的应用。     

Perturbation to symmetry and adiabatic invariants of discrete nonholonomic nonconservative mechanical system

Perturbation to Noether symmetries and adiabatic invariants of discrete nonholonomic nonconservative mechanical systems on an uniform lattice are investigated. Firstly, we review Noether symmetry and conservation laws of a nonholonomic nonconservative system. Secondly, we study continuous Noether symmetry of a discrete nonholonomic system, give the Noether symmetry criterion and theorem of discrete corresponding holonomic system and nonholonomic system. Thirdly, we study perturbation to Noether symmetry of the discrete nonholonomic nonconservative system, give the criterion of perturbation to Noether symmetry for this system, and based on the definition of adiabatic invariants, we construct the theorem under which can lead to Noether adiabatic invariants for this system, and the forms of discrete Noether adiabatic invariants are given. Finally, we give an example to illustrate our results.     

Application of Lie transformation group methods to classical linear theories of rods and plates

In the present paper, a class of partial differential equations governing various rod and plate theories of Bernoulli–Euler and Poisson–Kirchhoff type is studied by Lie transformation group methods. A system of equations determining the generators of the admitted point Lie groups (symmetries) is derived and the general statement of the associated group-classification problem is given. A simple relation is deduced allowing to recognize easily the variational symmetries among the “ordinary” symmetries of a self-adjoint equation of the class examined. Explicit formulae for the conserved currents of the corresponding (via Bessel-Hagen’s extension of Noether’s theorem) conservation laws are suggested. Solutions of group-classification problems are given for subclasses of equations of the foregoing type governing stability and vibration of rods, fluid conveying pipes and plates resting on variable elastic foundations. The obtained group-classification results are used to derive conservation laws and group-invariant solutions readily applicable in rod dynamics and plate statics and dynamics. New generalized symmetries and conservation laws for the theories of Timoshenko beams, Reissner–Mindlin plates and three-dimensional elastostatics are presented.